なぜ多項式時間が「効率的」と呼ばれるのですか？

コンピューターサイエンスで、せいぜい多項式の複雑さが効率的であると見なされるのはなぜですか？

実際のアプリケーション^（a）では、複雑さアルゴリズムは時間内に実行されるアルゴリズム、たとえばn 80よりもはるかに高速ですが、前者は非効率であると見なされ、後者は効率的です。ロジックはどこですか？！$n^{\log n}$$n^{80}$

^{（a）たとえば、宇宙の原子数は約と仮定します。$10^{80}$}

「効率」に関するもう1つの見方は、多項式時間により、マシンモデルに依存しない「効率」の概念を定義できることです。具体的には、ある種のマシンモデルで多項式時間で実行される問題は、別の同等の強力なマシンモデルでも多項式時間で実行されるという「効果的なチャーチチューリングテーゼ」と呼ばれるチャーチチューリングテーゼのバリアントがあります。

これは、一般的なCT論文に対するより弱い声明であり、ランダム化アルゴリズムと量子アルゴリズムの両方によって違反されていますが、変更によってポリタイムのNP困難問題を解決できるという意味では違反されていませんマシンモデル。

これが最終的に、多項式時間が理論CSで一般的な概念である理由です。ただし、ほとんどの人は、これが「実用的な効率」を反映していないことを認識しています。これについての詳細は、ディック・リプトンの「銀河アルゴリズム」に関する投稿を読んでください。

$O(n^{80})$$O(n^{\log n})$$n > 1208925819614629174706176$

$n^{\log n}$$n^{80}$

たとえば、GMPなどの整数乗算のほとんどのライブラリはアルゴリズムの混合を実装し、入力サイズに基づいて下位アルゴリズムを選択しますが、これらのアルゴリズムは漸近的に劣る場合がありますが、入力サイズに基づいて実際に優れたアルゴリズムを選択します。一部の漸近的に「劣った」アルゴリズムは、特定の入力サイズでより高速になり、最適なアルゴリズムよりも選択されます。

$O(n^{2.3737})$

TL; DR理論は、入力サイズの制限が任意の大きな数になるとアルゴリズムを比較するために、漸近的な振る舞いを考慮します。

この回答では、あなたの質問の「全体像」のコンテキストを調べます。実際、コンピューターサイエンスは比較的若くてややオープンな科学であり、いくつかの基本的かつ基本的な質問に対する優れた回答や優れた回答すらまだありません。「効率的に計算されたものを」基本的な質問は、どちらかである正確またはおおよそ NP問題対有名P（またはEXPTIMEの問題対密接に関連したP）として（意見に応じて）CSに形式化され、そのまだオープンの40年以上後に最初にCook / Levinが1970年までに導入し、世界の偉大なコンピューター科学者による集中的な研究（および多くの数学者もこの問題に根本的な関心を持っています）。

つまり、P時間として「効率的」というおおまかな定義があり、最も重要な科学賞の1つ、つまり10年以上にわたってこの問題に関連付けられた100万ドルの賞を授与したとしても、コンピューターサイエンスはいくつかの問題（この境界線）は、効率的な（Ptime）アルゴリズムを持っている必要があります。したがって、現時点では、P時間よりも正確な「効率的」の正確な定義は不要であり、不可能です。P対NPの推測が何らかの方法で解決される場合、または「いつ」「効率的」のより厳密な定義が可能になるか、またはおそらく可能になります。

さらに、「効率的」のPtimeの定義は少し「ずさん」であると感じるかもしれず、ほとんどのコンピューター科学者はおそらく同意するでしょう。彼らがこの主張や観察を些細なことだとさえ考えているかもしれないという点....言い換えれば、いわば、それは進行中の作業であり、私たちはそれに取り組んでいます。（実際、主流のコンピューター科学者は、これまでのところ、冗談を言って、ギャップと進歩/明確な分離の欠如を恥ずかしいと日常的に言及しさえしています）

実際、P対NP、つまりNP対P /ポリよりも密接に関連する/ かなり強い推測さえありますが、これも現時点ではコンピューターサイエンスでは解決できません。それは、NP-時間の問題はでは解決できないことを推測どのすなわちさえアルゴリズム/チューリングマシンで作成することができ、これらの回路に限らず、「Pサイズ」の回路。

P対NPがどれほど難しいかについては、少なくとも数学のリーマン予想（現在は1.5 世紀）と同じくらい難しいと考えられる確かな理由があります。そして、どちらもまだ/最初に解決されていません。

つまり、どのアルゴリズムが実際に「効率的」であるかを正確に定義することは、実際には理論科学と数学の最も重要で最も難しい既存の未解決問題の 1つです。

実際、P-time CT論文と呼ばれるチャーチチューリング論文の変形があるため、「効率的に計算されるもの」の問題は実際にはさらに微妙であり、量子コンピューティングが実際に違反しているかどうかは不明です。P-time QMのショーアの画期的な結果により、ファクタリングはこの研究で劇的なひねりを考慮しました。言い換えると、効率的に計算されるものの問題は、実際には深部物理学の原理に至るまでもっともらしく低下し、量子計算が古典的な計算よりも効率的に計算できるかどうかに関係します。これは、理論CSおよび高度な物理学で一般的に未解決の問題でもあります。

したがって、PとNPを追加することもできます。効率的なコンピューティングの問題は、CSおよび数学に加えて、物理学にとって極めて重要または基本的な重要性を持つ可能性があります。

[1] P対NPの問題、ウィキペディア

[2] ミレニアム賞の問題

[3] P / Polyクラス、ウィキペディア

[4] Shorのアルゴリズム

多項式時間アルゴリズムは、最も困難な非多項式時間、特にいわゆるNP完全と比較してのみ効率的であると見なされます。画像を参照してください：P、NP、NP完全問題、NPハード問題のオイラー線図。