通常の言語が周期演算子の下で閉じられていることを証明する

私は数日で試験を受けましたが、このタスクを解決するのに問題があります。

してみましょうアルファベットを超える正規言語も。私たちは、運転してい そして今、我々は示すべきであることも定期的です。$L$$\Sigma$$\operatorname{cycle}(L) = \{ xy \mid x,y\in \Sigma^* \text{ and } yx\in L\}$$\operatorname{cycle}(L)$

参照は、DFAを a -NFA withおよび 状態。$D=(Q,\Sigma,\delta, q_0, F)$$L(D) = L$$\epsilon$$N$$L(N) = \operatorname{cycle}(L)$$2 · |Q|^2 + 1$

アイデアは、単語が循環する量を最初に非決定的に決定し、すべてのケースにオートマトンのコピーを用意することです。オートマトンに関しては、これは、単語のプレフィックス（入力のサフィックス）を消費した後にがどの状態になったかを推測し、その状態で開始することを意味します。$D$

今建設。すべての状態、を2つの部分と分離します。そこから状態が含ま到達可能とされから到達可能な状態：$q \in Q$$D$$A_1$$A_2$$A_1$$q$$A_2$$q$

^{[ ソース ]}

任意のノードがと両方に含まれている可能性があることに注意してください。したがって、このステップを明示的にすると、状態数が2倍になる可能性があります。$A_1$$A_2$

次に、このオートマトンを再配線して、が「サイクルポイント」をマークするすべての単語を受け入れます。$q$

^{[ ソース ]}

我々が得るこの形式のオートマトン。すべての開始状態への -transitionsを持つ新しい初期状態を作成します。結果のオートマトンは受け入れます。まとめると、最大で状態、のみが得られます 参照クレームより多くの状態が可能です。$|Q|$$\varepsilon$$\operatorname{cycle}(L)$$|Q|\cdot(2|Q|+1) + 1$$|Q|$

コンポーネントのオートマトンを少し変更することで、状態を実現できます。着信する -transitionsを発信する遷移のコピーで置き換えることにより、すべての排除します。つまり、遷移のすべてのペアに対して、遷移導入します。$2|Q|^2 + 1$$q_0$$\varepsilon$$(q_1,\varepsilon,q_0), (q_0,a,q_2)$$(q_1,a,q_2)$

厳密な構造と正当性の証明は、演習として残ります。