最初のN個の整数に対するコルモゴロフ複雑度の推定値は何ですか？

一部のintはコルモゴロフ複雑度が高いまたは低いことを認識しています。たとえば、数値5.41126806512はで表すことができるため、複雑度は非常に低くなります17/pi。KCは式言語によって異なりますが、特定の定数までは常に同じであることも知っています。だから、私は尋ねます：最初のN intのKCの近似を計算する方法はありますか？

いいえ、シーケンスのコルモゴロフ複雑度に近い近似を計算する一般的なアルゴリズムはありません。あなたが思いつくどんな候補アルゴリズムもそれが悪い答え（正しい答えへの悪い近似）を与えるいくつかの入力を持ちます。$1,2,\dots,n$

表す自然数のバイナリエンコーディングは、およびlet表し、A系列の符号化カンマ区切り。を確認することは難しくありません 。計算は決定できないため、への適切な近似の計算も決定できません。$[n]$$n$$[[n]] = [1],[2],\ldots,[n]$$1,\ldots,n$$|K([n]) - K([[n]])| = O(1)$$K([n])$$K([[n]])$

さらに、「ほとんどの」整数、であることが知られてい。したがって、「最も多い」整数、です。 $n$$K([n]) = \Theta(\log n)$$n$$K([[n]]) = \Theta(\log n)$

「ほぼすべての数値は最大限にランダムである」というステートメントを表現する1つの方法は、のアサーションとしてです。便宜上、を設定し、合計のからまでの部分のみを考慮してください。次に、各について、この長さの複雑さを伴う数の数は（一部についてはhttp://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_complexityを参照）この詳細）、合計を「非圧縮」数と圧縮可能数の合計に分割できます。前者は少なくとも寄与し$\sum_{i=1}^N K(i) \in\Theta(N\lg N)$$N=2^k$$2^{k-1}$$2^k$$c$$\geq k-c$$2^{k-1}-2^{k-c}$$c$$(1-2^{1-c})2^{k-1}(k-c)$合計に。形式の定数（つまり、合計を前に取得するには、もう少しマッサージするだけで十分です。$1-o(1)$$N\lg N-o(N\lg N)$