ユニバレントファンデーションプログラムの年度の研究成果は何でしたか（ホモトピー型理論）

Institute for Advanced Studyには、Univalent Foundationsプログラムに特化した1年間の特別プログラムがありました。

この最後に、彼らは本とコードリポジトリを作成しました。

この最後に、Scientific Americanのブログエントリに次のように記載されています。

...それはすべての数学に新しい自己完結型の基盤を提供できます。

これは大胆な主張です。対照的に、2つのオッズの合計が常に偶数であるという Agdaの単純な証明などの控えめな主張を見ることができます。

私の質問は次のとおりです。これらの人たちは年末に実際にどんな斬新な研究を生み出しましたか？すべての記事が示しているのは、彼らがAgdaでいくつかのコードを書いたということです。Martin-Löf型理論といくつかのアプリケーションの新しい見方があるだけですか？

仮定

• Martin-Löf型理論のより広い概念は、それが型と証明の間の同型に関連していることを理解しています。

この本自体がプログラムの研究成果を代表しています。彼らが書いたコードは、私の知る限り、実際にはほとんどがCoqにあり、確かにこの本に伴う開発はCoqで書かれています。

ホモトピー型理論自体は、本質的に、等価型は等しいと本質的に述べている、単原子性の公理とともに、Martin-Löfを構成します。同等性の概念は、合成ホモトピー理論とマーティン・ロフ型理論の間の関係を確立するという見方から来ているため、その名前が付けられています。この公理は、本が示している強力な型理論に道を譲り、重要な既存の基礎的な数学の多くについて推論することができます。

実際、本のパート2は、ホモトピー理論、集合論、範疇理論のより伝統的でトポロジー的に動機付けられたバージョンの発展と、実数の素晴らしい建設的な表現で構成されています。私はまだCoqコードを詳しく調べていませんが、これらのプレゼンテーションのすべてに対応するCoqソースが付随していることを理解しています。これらすべての重要な基礎は完全にホモトピー型理論の範囲内で定式化できるため、これが将来の数学にとって重要な基礎であるという仮説は理にかなっています。その考えは、数学者が代数、トポロジー、分析などの分野でより多くの結果に向かってこれらの独創的な発展を拡張できるようになるということです。

ホモトピー型理論はカリーハワード対応を介してCoqで数学を実行できることに関係しているので、ホモトピー型理論はカリーハワードのより強力なインスタンスに対応すると考えることができます。この研究の最もエキサイティングな貢献は、タイプ理論の観点から数学について話すための数学者の言語を提供することであり、アイデアは、一方で、これにより、Coqのような証明者の機械化された証明を伴うより多くの数学が可能になるということです。同様に、それらの平易な英語の同等物により密接に対応するコンピューター証明。Coqを使用したことのある人なら誰でも、あなたが作成した証明は、同等の平易な英語の証明にまったく似ていないことが多いと言われます。