他の2つの間に厳密にBig Ohの複雑性が常に存在するか

私は漸近分析について学んでいて、他の一般的なものの間で生きているエキゾチックな複雑さを見てきました。たとえば、「log log n」は厳密に1とlog nの間です。他の2つの間の複雑さを常に見つけることができるのかと疑問に思います。

具体的には、O（f）⊂O（g）の関数fおよびgについて、O（f）⊂O（h）⊂O（g）のようなhが常に存在するか？

これは宿題ではありません。誰かが知っているなら、私はただ興味があります。

はい：ミドルの適切な定義のために、ミドルで関数を取ります。幅広い選択肢があります。

もし（封入が厳密である）、次にG ∈ O （G ）∖ O （F ）（もしあるため、G ∈ O （F ）とF ∈ O （G ）、次いでΘ （F ）= Θ （g ））。幾何平均を取る：h = $O(f) \subset O(g)$$g \in O(g) \setminus O(f)$$g \in O(f)$$f \in O(g)$$\Theta(f) = \Theta(g)$（私たちはここに複雑話をしていることから、私は関数が正であると仮定します）。$h = \sqrt{f \cdot g}$

次いで、およびH ∈ O （G ）（これはすぐに明らかでない場合は、定義使用してそれを証明Oが）、すなわちO （F ）⊆ O （H ）⊆ O （G ）。もしO （F ）= O （H ）、次いで、G = F ∈ O （F ）、我々は仮定するのでそうではありません、$f \in O(h)$$h \in O(g)$$O$$O(f) \subseteq O(h) \subseteq O(g)$$O(f) = O(h)$$g = f \in O(f)$。これは、ことを証明するために残っている O （H ）≠ O （G ）、そして我々が持っているでしょう O （F ）⊂ O （H ）⊂ （グラムを）。$g \notin O(f)$$O(h) \ne O(g)$$O(f) \subset O(h) \subset (g)$

場合、次いで、G ∈ O （hが）、すなわち、存在AとCは、> 0よう∀ X ≥ A 、G （X ）≤ $O(h) = O(g)$$g \in O(h)$$A$$C \gt 0$。次いで、G（X）≤C2F（X）（によって正方形と分割を取り、G（X）、再び、私は、正の機能を想定し）、こうしてG∈O（F）当初の仮定に反します。仮説O（h）=O（g）は矛盾を引き起こし、証明を締めくくります。$\forall x \ge A, g(x) \le C \, h(x) = C \sqrt{f(x) g(x)}$$g(x) \le C^2 f(x)$$g(x)$$g \in O(f)$$O(h) = O(g)$

これは、「明確な」機能または可能な「空間/時間構成可能」に当てはまるようですが、たとえば、ブラムズギャップ定理でブルームによって発見されたいわゆる「病理学的機能」が知られています。場合。そのため、たとえば「最も適切に機能する関数」で機能する微積分学の微分の概念に似ていますが、「病理学的例外」が見つかりました。これまでのところ、複雑性理論におけるこれらの「病理学的例外」について、体系的/詳細な研究はそれほど多くないようです。