NPでこの決定できない問題がないのはなぜですか？

明らかにNPには決定できない問題はありません。ただし、ウィキペディアによると：

NPは、答えが「はい」であるインスタンスが決定論的チューリングマシンによって多項式時間で検証可能な[..証明]を持つすべての決定問題のセットです。

[...]

多項式時間で実行される問題の検証者が存在する場合にのみ、問題はNPにあると言われます。

ここで、次の問題を検討してください。

ディオファントス方程式が与えられた場合、整数解はありますか？

解決策を考えると、それはそれが本当にいることを多項式時間で検証するのは簡単ですですソリューション：ちょうど式に数字を差し込みます。したがって、問題はNPにあります。ただし、この問題を解決することは決定できないことが有名です！

（同様に、「このプログラムはN番目のステップで停止する」という「はい」解決策はNステップで検証できるため、停止の問題はNPにあるはずです。）

明らかに、私の理解には何か問題がありますが、それは何ですか？

NPの同等の定義は、非決定性チューリングマシンによって多項式時間で決定可能な（検証可能なだけではない）すべての問題で構成されるということです。NTMは、NTMで決定可能な問題のセットがTMで決定可能な問題のセットと同一であるという意味で、TMほど強力ではないことが知られているため、この定義では、NPに決定できない問題はありません。

NPの2つの定義が同等であることを示すために、決定論的検証子の存在を前提として、非決定論的決定子が存在すること、およびその逆を示すことができます。

決定論的な多項式検証器があるとします。次に、この問題/検証者の証明書サイズの境界に対応する多項式で区切られた長さの証明書を非決定的に推測し、検証者を実行するマシンもあります。アルファベットは有限であるため、特定の入力の証明書は有限であり（入力のサイズが最大でも多項式）、検証者は多項式時間で実行され、マシンはすべての入力のすべてのブランチで停止し、（決定論的）多項式時間。したがって、すべての確定的検証者に対して非確定的決定者が存在します。

非決定的な決定者がいる場合は、計算を受け入れるたびに、決定者が受け入れ状態に到達するために選択したパスを書き留めることができます。ディサイダーは多項式時間で実行されるため、このパスはせいぜい多項式の長さです。そして、決定論的なTMが、そのようなパスが NTMを通過して受け入れ状態になる有効なパスであることを検証するのは簡単です。したがって、非決定論的決定者ごとに決定論的検証者​​が存在します。

したがって、決定不能な問題には、多項式サイズの証明書で機能する検証者を含めることはできません（そうでない場合、検証者の存在は決定者の存在を意味します）。

停止する問題の検証者が存在すると主張するとき、あなたが話している証明書は（TM、I、N）のエンコードであり、TMは入力IでNステップで停止します。これは確かにNステップで検証できますが、証明書のサイズは元の問題（停止問題）への（TM、I）入力のサイズの多項式ではありません。Nは、エンコードに関係なく、任意に大きくすることができます。そのような検証者を非決定的な決定者に変換しようとすると、やや興味深いマシンになります。動作しない TMで（TM、I）を実行すると、それを証明できるはずです。入力で停止Iマシンを通る停止しないパスは存在しませんが、停止状態に至るパスには常に別のより長いパスがあり（Nが大きいと推測されます）、そのため有限の境界はありません実行時間。本質的に、これは初期の非決定論的推測によって調査する必要がある無限の空間があるためです。このようなNTMを決定論的な TMに変換すると、一部の入力でループも停止もしないマシンの1つにつながります。実際、停止の問題を決定できるNTMは存在しないため、サイズが制限された証明書で機能する検証機能はありません。

私はディオファントス方程式にあまり精通していませんが、基本的に同じ問題があなたの議論に当てはまるようです。

このため、NPのNTM定義について推論する方が簡単です。決定できない問題の検証者がいます（元の問題への入力のサイズに制限された多項式サイズを持つ証明書で機能するものではありません）。実際、特定の言語を認識するが決定しないTM は、同じ言語の検証者に簡単に変換できます。

検証者について考える場合、証明書のサイズではなく、元の問題の入力のサイズに関して検証者に時間制限を与える必要があると思います。証明書のサイズに応じて検証者がより短い時間で実行されるように、証明書のサイズを任意に拡張できます。

あなたはそれがディオファントス方程式を解くことの意味とマティヤセビッチの決定不能定理を誤解したと思います。

Matiyasevichは、すべてのREセットについてことを証明 diophentine方程式があるF （N ; X 1、。。。、X K）ように、nが∈ S係数整数が存在する場合のみ、X 1、...、X kのようにF （N ; X 1、。。。、X 、K）= $S$$f(n;x_1,...,x_k)$$n \in S$$x_1$$x_k$$f(n;x_1,...,x_k) = 0$。特に、停止問題は典型的なREセットであるため、上記の問題を解決することは決定できません。

注はサイズに制限がなく、一般に任意に大きくなる可能性があるため、この問題には「多項式サイズの証明書」はありません。$x_1, ... x_k$

展開するには：整数は、証明書となるためにバイナリで記述する必要があります。これらの整数は（nに関係なく）任意に大きくなる可能性があるため、証明書はlog n以上の多項式ではなく、より重要なことであり、計算可能な関数に制限されません。$x_1, ... , x_k$$n$$\log n$

ただし、すべての問題には、ある多項式p （N ）（Nは入力のサイズ）で区切られた証明書があります。したがって、N Pの質問は、長さp （N ）までのすべての可能なビット文字列を列挙でき、どれも入力を認証しない場合はfalseを返すため、簡単に決定できます。ある場合はtrueを返します。$\mathsf{NP}$$p(N)$$N$$\mathsf{NP}$$p(N)$

正式な定義までスクロールダウンする必要があります。

言語 NPである場合と多項式が存在する場合にのみ、PとQ、および決定性チューリングマシンM、その結果を$L$$p$$q$$M$

• $x$$M$$p(|x|)$$(x,y)$
• $x \in L$$y$$q(|x|)$$M(x,y) = 1$
• $x \not\in L$$y$$q(|x|)$$M(x,y) = 0$

つまり、検証者は非ソリューションでも作業する必要があります。（計算可能性の観点から）より明確な定義から明らかなように、どこかで、決定できない問題は失敗します（あなたの場合、解候補の長さの制限はおそらく満たされていません）。

NPは、多項式時間で実行される非決定的チューリングマシンによって決定可能な決定問題のセットです。

上記の回答の詳細を提供しようとします。

実際、この質問はジレンマの問題です。

一方では、ディオファントス方程式問題（DEP）は、マティエセビッチの定理（Matiyesevichの定理はヒルベルトの10番目の問題に対応し、チューリングのホールティング問題はヒルベルトの10番目の問題の一般化、つまりEntscheidungsproblemに応じて決定不能です）; しかし、他方では、NPの定義（決定可能かつ検証可能）に従って、NPに決定不能な問題はありません。

つまり、DEPがNPにないか、DEPがNPにあります。どちらもNPの定義に関するものです。

DEPがNPにない場合、NPの問題（NDTM = NonDeterminstic Turing Machine）は決定可能かつ検証可能です。つまり、P = NP（NDTM）を受け入れます。

DEPがNPにある場合、NP（NTM = Non Turing Machine）には決定可能および決定不能が含まれ、明らかに決定可能が検証可能です。したがって、問題は決定不能が検証可能かどうかです。実際、それはP対NPの有名な問題です。確かに、決定不能は検証不可能であるため、NPはNDTM（NonDeterminstic Turing Machine）ではなくNTM（Non Turing Machine）に対応します。

DEPの前提はNP（NTM）であるため、NP（NTM）は非決定的問題（決定不能）であり、NPの現在の定義（NDTM、決定可能および検証可能）はこの非決定論（決定不能）を失ったと考えられます。質問する必要があると思います。

Diophantine方程式についてあなたが提起したジレンマは、NPの現在の定義に何か異常があることが明らかになるため、非常に重要だと思います。-NPに問題があると言われる時間。

NPの定義に関しては、60年代までさかのぼることができます。60年代には、多項式時間で解決可能な問題からこれらの問題を認識するために、それらを解決する多項式アルゴリズムが見つからない多数の適用可能な重要な問題が発見されました（P）、NPの概念が出されました。

ただし、多項式時間で検証可能と定義されているNPの現在の定義は、NPとPを混同します。これは、Pの問題も多項式時間で検証できるためです。言い換えれば、そのような定義はNPの本質、「非決定論」の喪失につながります。その結果、NPの理解に深刻なあいまいさが生じます。たとえば、ジレンマです。本来、ディオファントス方程式の問題は決定できません。しかし、NPの定義により、決定可能です…

私たちの意見では、«P対NP»を解決することの難しさはまず認知レベルにあるため、«P対NP»について洞察を得たい場合、まずNPとは何ですか？