独立セットとセットパッキングの同等性

ウィキペディアによると、独立集合問題は集合パッキングの特殊なケースです問題の。しかし、これらの問題は同等であるように私には思えます。

独立集合探索問題がある：グラフ所与$G(V,E)$及び整数$n$、検索$n$隣接しない2つがの頂点。

セットのパッキング探索問題がされて：有限コレクション与えられたの有限集合の整数、見つける$C$$n$$n$対毎の互いに素であるセット。

次の双方向の削減に基づいて、それらは同等であると思います。

→：グラフ上の独立した集合問題を考えて、集合ののコレクションを作成します。各頂点に対して、隣接するすべてのエッジを含む集合があります。ここで、すべてのパッキングセットは、2つの頂点が共通していない頂点のセットに対応します。つまり、これはの同じサイズの独立したセットです。$G(V,E)$$C$$v \in V$$S_v \in C$$v$$C$$G$

←：コレクションセットパッキング問題をとして、すべてのセットに頂点があり、と間にエッジがあるグラフ作成します。セットと交差する場合、。ここで、すべての独立した頂点セットは、2つが交差しないセットのセットに対応します。つまり、これは同じサイズののセットパッキングです。$C$$G(V,E)$$S \in C$$v_S \in V$$v_{S_1}$$v_{S_2}$$S_1$$S_2$$G$$C$$C$

私の質問は、私の削減は正しいですか？もしそうなら、これらの問題は同等ですか？ある問題に対して他の問題に対して近似アルゴリズムを使用することは可能ですか？

「同等」の正確な意味は明白ではありませんが、NP完全問題で考慮される簡約化の下で、通常の同等性よりも深いものを示しました。

これで、2つの問題間の節約と呼ばれるものを実証しました。通常、NP完全問題間の縮約は多対1の縮約です。つまり、問題は、問題Bに解決策がある場合にのみ、問題Aに解決策があるという特性のみを持ちます。たとえば、3SATを3-Colourabilityに減らすと、元の数式が満足できる場合に限り、3色の  グラフが生成されます  。ただし、  に  変数がある場合、満足のいく割り当ての数はゼロと間の任意の数になる可能性があります。 $G$$\varphi$$\varphi$$N$$2^N$までの任意の数になる可能性がありますが、色のセットの順列のため、グラフの3色の数は6の倍数です。

大幅な削減についてのポイントは、それらが1対1であることです。削減により、独立集合問題の解と対応する集合パッキング問題の解の間の全単射が設定されます。簡潔な削減は、問題の最適化と（近似）カウントバージョンを保持するので便利です。したがって、削減により、最大の独立セットを見つける問題は、最も多くのセットを使用してセットパッキングを見つけるのと同じくらい難しく、すべての独立セットを数える問題は、すべてのセットパッキングを数えるのと同じくらい難しいこともわかります。

カウントとおおよそのカウントも保持する、より幅広い種類の削減があります。これらは、Dyer et al。の近似を保持する削減です。 [1]。これらはオラクルの削減であり、節約的な削減の1対1の要件を本質的に「一方の（の近似）がわかっていれば、もう一方の（の近似）を簡単に計算できます」に緩和します。特に、APの削減はの係数に簡単に対処できます これは、色の問題を軽減するために固有のものです。名前が示すように、APの減少は、AからAP-減少がBにありますし、そこにいた場合、という意味で、近似可能を維持FPRAS Bについては、その後、FPRASはあまりにも、Aのためにあります。$q!$$q$

[1]ダイアー、ゴールドバーグ、グリーンヒル、ジェラム。概算問題の相対的な複雑さ。Algorithmica 38（3）：471から500まで、2003 DOI。無料PDF

どちらの問題もNP完全であるため、削減を確認しなくても、その意味では同等です。

ただし、削減は問題ないようです。技術的に近似結果の場合、削減の追加のプロパティを確認する必要があります（この場合、PTAS削減など、必ずしも実行が難しいわけではありません）は、に関心があります）。また、決定バージョンではなく、問題の最適化バージョンについて話し合う必要があります（つまり、特定のサイズ以上のサイズの存在ではなく、最大/最小の回答を求めます）。

$|V|^{1-\varepsilon}$$\varepsilon > 0$

制限されたクラスのグラフを見ていると、何か面白いものを見つけることができるかもしれません。詳細については、Viggo Kannの計り知れないほど有用な概要を紹介します。

1. 最大セットパッキング
2. 最大独立セット
3. マックスクリーク