通常の言語とのコンテキストの交差

文脈自由言語Lと通常言語Mの共通部分は、常に文脈自由であると言われています。クロスプロダクト構築の証明は理解しましたが、なぜコンテキストフリーであるが通常ではないのかはまだわかりません。

このような共通部分によって生成される言語には、PDA と DFAの両方で受け入れられる文字列があります。DFAで受け入れられているので、通常の言語ではないでしょうか？さらに、交差点が規則的である場合、すべての正規言語にも文脈がないため、文脈がないことを意味します。

誰かがそのような交差点によって得られた言語が規則的でない理由を私に説明できますか？

$L$$\mathscr{P}$$M$$\mathscr{F}$$\mathscr{P}$$\mathscr{F}$

$\mathscr{F}$$\mathscr{F}$$\mathscr{P}$

$\mathscr{P} \otimes \mathscr{F}$$\mathscr{P}$$\mathscr{F}$$n$$n$$\mathscr{P}$$(q,a,[q])$$\mathscr{P}$$a$$\mathscr{P}$$\mathscr{P} \otimes \mathscr{F}$ in general.

A trivial example is that $\mathscr{A}^*$ is regular, and if $L$ is context-free but not regular then $L \cap \mathscr{A}^* = L$ is context-free but not regular.