無限の正規言語を2つの互いに素な無限の正規言語に分割する

無限の正規言語与えられた場合、を2つの互いに素な無限の正規言語L_1、L_2に分割できることをどのように証明できますか？つまり、L_1 \ cup L_2 = L、L_1 \ cap L_2 = \ varnothingであり、L_1とL_2は両方とも無限であり規則的です。$L$$L$L 1 ∪ L 2 = L L 1 ∩ L 2 = ∅ L 1 L $L_1, L_2$$L_1 \cup L_2 = L$$L_1 \cap L_2 = \varnothing$$L_1$$L_2$

これまでのところ、私は考えました：

1. \ begin {gather} L_1＆= \ {xy ^ nz \ mid \ text {\（n \）is even} \} \\ L_2＆= \ {xy ^ mz \ mid \ text {\となるようにポンピングレンマを使用する （m \）は奇数です} \} \\ \ end {gather}

   $$\begin{gather} L_1 &= \{ xy^nz \mid \text{\(n\) is even} \} \\ L_2 &= \{ xy^mz \mid \text{\(m\) is odd} \} \\ \end{gather}$$ が、それらが二重結合または$L$完全にカバーしていることを証明できませんでした。

2. 通常の言語パーティション$\Sigma^*$してdijoint等価クラスに分割しますが、等価クラスが正規か無限かを判断する方法はわかりません。

レッツ。パリフの定理は、が最終的に周期的な集合であることを示しています。最終的な期間をます。は無限大なので、すべてのとようなオフセットがあり。したがって、言語無限である（それは長さの全ての単語含ま一部について、および言語）も無限である（それが全て含まれています長さ単語 for someS ℓのL A + k個のℓ ∈ S K ≥ $S = \{ |w| : w \in L \}$$S$$\ell$$L$$a$$a + k\ell \in S$$k \geq 0$$L_1 = \{ w \in L : |w| \equiv a \pmod{2\ell} \}$$a + 2k\ell$$k \geq 0$$L_2 = L \setminus L_1$$a + (2k+1)\ell$$k \geq 0$、およびおそらく他の単語）。が両方とも規則的であることを示しましょう。$L_1,L_2$

すべての通常の言語は、最小限のDFAで受け入れられます。無限の正規言語場合、そのようなDFAをと呼びましょう。文字列の処理中に複数回アクセスできる状態を考えます。が2回以上アクセスできる場合は、何度でもアクセスできることになります。定義および これはDFAなので、パスは1つしかありません。任意の文字列$L$$M_L$$q$$L$$q$

$$L_1 = \{w \in L \mid q\text{ is visited an odd number of times}\}$$ $$L_0 = \{w \in L \mid q\text{ is visited an even number of times}\}$$ $L$DFAによって承認され、州を何度か訪問する必要があります（おそらくゼロ）。州は何度でも訪れることができます。したがって、には無限に多くの文字列があり（状態を1回、3回訪問するような単語があるため）、には無限に多くの文字列があることを（原因となる単語があるため）訪問回数は0回、2回など）。特定の文字列はまたはいずれかにあり、両方にことはできないため、です。ただし、単語はこれら2つのセットのいずれかに含まれることが保証されているため、です。$L_1$$L_0$$L_1$$L_0$$L_0 \cap L_1 = \emptyset$$L$$L_0 \cup L_1 = L$