単純な有限正規言語のポンピング補題

ウィキペディアには、通常の言語のポンピング補題の次の定義があります...

してみましょう$L$正規言語であること。次に、整数が存在する$p$のみに依存≥1 $L$すべての文字列ような$w$で$L$少なくとも長さの$p$（$p$として「ポンピング長」と呼ばれる）を書き込むことができる$w$ = $xyz$（すなわち、$w$分割することができます3つの部分文字列に分割）、次の条件を満たす：

1. | $y$ | ≥1
2. | $xy$ | ≤ $p$
3. すべてのための$i$ ≥0、$xy^iz$ ∈ $L$

単純な有限の通常の言語では、これがどのように満たされるかわかりません。{ }のアルファベットと正規表現a bがある場合、Lはaの後にb が続く1つの単語のみで構成されます。私は今、私の通常の言語がポンピング補題を満たしているかどうかを見たいです...$a,b$$ab$$L$$a$$b$

私の正規表現では何も繰り返されないため、の値は空でなければならず、すべてのiに対して条件3が満たされます。しかし、もしそうなら、それはyの長さが少なくとも1でなければならないという条件1に失敗します！$y$$i$$y$

代わりに私が聞かせている場合どちらでも、BまたはB、それは条件1を満たしますが、それは実際に自分自身を繰り返したことがないので、条件3を失敗します。$y$$a$$b$$ab$

私は明らかに気が遠くなるほど明らかな何かを見逃しています。どっち？

あなたは正しいです-有限の「ポンピング」ワードを許可することはできません。不足しているのは、補題が数pが存在すると言っているが、数を教えていないことです。$L$$p$

すべての単語の長いより補題により、ポンピングすることができます。有限のLの場合、pがLの最長単語の長さより大きくなるようになります。したがって、補題は空虚にしか保持されず、Lのどの単語にも適用できません。つまり、Lのどの単語も、補題が必要とする「少なくともpの長さ」の条件を満たしません。$p$$L$$p$$L$$L$$L$$p$

推論：場合長さポンピングたPを、そしていくつかの単語が存在するW ∈ L少なくとも長さのpが、その後Lが無限大です。$L$$p$$w\in L$$p$$L$

ポンピング補題は通常、無限の言語、つまり無限の数の単語を含む言語で使用されます。任意の有限言語についてそれは常に状態の有限数とDFAで受理できるため、Lは、定期的にでなければなりません。$L$$L$

ウィキペディア（によるhttp://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages#Formal_statement）、補題をポンピングすることは言う： $\begin{array}{l} (\forall L\subseteq \Sigma^*) \\ \quad (\mbox{regular}(L) \Rightarrow \\ \quad ((\exists p\geq 1) ( (\forall w\in L) ((|w|\geq p) \Rightarrow \\ \quad\quad ((\exists x,y,z \in \Sigma^*) (w=xyz \land (|y|\geq 1 \land |xy|\leq p \land (\forall i\geq 0)(xy^iz\in L)))))))) \end{array}$

任意の有限言語について、l m a xをLの単語の最大長とし、pの見出し語の見出し語をl m a x + 1とする。単語が存在しないので、ポンプの補題が成り立つL長さ≥ L M A X + 1。$L$$l_{max}$$L$$p$$l_{max}+1$$L$$\geq l_{max}+1$

ポンピング補題のコア部を定式化する1つの方法は、この、使用している：$L^{\geq k} = \{ w \in L \mid |w| \geq k\}$

場合は規則的である、そこに存在するのp ∈ Nはよう$L$$p \in \mathbb{N}$

（*）。$\qquad \displaystyle \forall w \in L^{\geq p}.\ \exists x,y,z \dots$

すべての有限およびp > max { | w | | wは∈ L }、我々はことを明らかにしていL ≥ P = ∅。したがって、（*）はそのようなpに対して（空虚に）trueです。$L$$p > \max \{ |w| \mid w \in L\}$$L^{\geq p} = \emptyset$$p$