このアルゴリズムが最終的に終了することを証明する簡単な方法

導入と表記：

（私の実験によれば）終了するように見える私のアルゴリズムの新しくてシンプルなバージョンがここにあります、そして今私はそれを証明したいと思います。

表記ましょを参照して、P次元データ点（ベクトル）。A、B、Cの3つのセットがあります。A | = n、| B | = m、| C | = l： A = { x i | 私は= 1 、。。、n } B = { x j | j = n + $x_i \in \mathbb{R}^p$$p$$|A| = n$$|B| = m$$|C| = l$

所与、聞かせて、D A 、X iはからの平均ユークリッド距離を示すX IのにKの点に最も近いAを、及びD C X I示すからの平均ユークリッド距離X Iのにk個の点に最も近いC。$k \in \mathbb{N^*}$$d_{x_i}^A$$x_i$$k$$A$$d_{x_i}^C$$x_i$$k$$C$

アルゴリズム：

$A$$B$$B$$C$$A$$C$$B$

• $A' = \{ x_i \in A \mid d_{x_i}^A > d_{x_i}^C \}$
• $A = A \setminus A'$$B = B \cup A'$
• $B' = \{ x_i \in B \mid d_{x_i}^A < d_{x_i}^C$
• $B = B \setminus B'$$A = A \cup B'$
• $A$$B$$B$$A$$|A| \leq k$$|B| \leq k$

アルゴリズムは次の2つの場合に終了します。

• $|A|$$|B|$$k$
• $A' = B' = \emptyset$

質問：

$\sum_{x \in A} d_x^C + \sum_{x \in B} d_x^A$$\sum_{x \in A} d_x^A + \sum_{x \in B} d_x^C$$\sum_{x \in A} d_x^A + \sum_{x \in B} d_x^B$$\sum_{x \in A} d_x^B + \sum_{x \in B} d_x^A$

ノート：

• $k$$x$$S$$k$$x$$S$$x$$k = 1$
• $A, B, C$$\forall x_i \in B, x_j \in A$$x_b \in C$$x_i$$x_a \in C$$x_j$$distance(x_i, x_b) < distance(x_j, x_a)$$B$$C$$A$
• $A$$B$$A$$B$$A'$$B$

$k = 1$

$A$$B$$A$$B$

$x$$x$$B$$A$$x$$A$$x'$$A$$d_x^C > dist(x, x')$$f$$f(x) = x'$$x'$$A$$B$$x'$$A$$x$$f(f(x)), f(f(f(x))),$

$f^n(x) = f^m(x)$$m > n$$d_{f(x)}^C, d_{f^2(x)}^C, ... d_{f^n(x)}^C, ...$$o$$d_{f^{o-1}(x)}^C \leq d_{f^o(x)}^C$

$f^{o-1}(x)$$f^o(x)$$A$$C$$d_{f^o(x)}^C \geq d_{f^{o-1}(x)}^C > dist(f^{o-1}(x), f^o(x))$$f$

$f^{o-1}(x)$$f^o(x)$$A$$A$$f$$k = 1$