Kクリーク問題の）アルゴリズム

クリーク問題は、必要なクリークのサイズが入力の一部である、よく知られた完全問題です。ただし、kクリーク問題には自明な多項式時間アルゴリズムがあります（が定数の場合は）。kが一定の場合、最もよく知られている上限に興味があります。$NP$$O(n^k)$$k$

実行時アルゴリズムはありますか？ -timeアルゴリズムもよいです。また、そのようなアルゴリズムの存在に対する複雑性理論的な結果はありますか？$O(n^{k-1})$$o(n^k)$

3クリークは、時間頂点グラフで見つけることができます。ここで、は行列乗算指数であり、空間ではItaiとロデー[1]。基本的に、主対角線にゼロ以外のエントリがある場合にのみ、に三角形が含まれることを示しています。三角形もサイクルであるため、三角形を検出するための一般的なサイクル検索方法を使用できます。Alon、Yuster、およびZwickは、時間で、エッジグラフで三角形を検出する方法を示しています[6]。G O （N ω）ω < 2.376 O （N 2）G （A （G ））3 C 3のm O （M 2 ω /（ω + 1 ））= O （M 1.41$n$$G$$O(n^\omega)$$\omega < 2.376$$O(n^2)$$G$$(A(G))^3$$C_3$$m$$O(m^{2\omega/(\omega+1)}) = O(m^{1.41})$

長い間、ネセトリルとポルジャックの結果[2]が最もよく知られていました。彼らは、サイズのクリークの数が時間および空間で見つかることを示しました。最後に、EisenbrandとGrandoni [3]は、小さい値のに対する -cliqueおよびa -clique のNesetrilとPoljakの結果を改善しました。具体的には、時間、、およびでそれぞれサイズ4、5、および7のクリークを見つけるためのアルゴリズムを提供しました。$3k$$O(n^{\omega k})$$O(n^{2k})$$(3k+1)$$(3k+2)$$k$$O(n^{3.334})$$O(n^{4.220})$$O(n^{5.714})$

私の知る限り、一般的なについて、より良いアルゴリズムを設計する問題は開かれています。考えられる結果または複雑さの理論的考察については、ダウニーとフェロー（例[4]を参照）は、パラメータークリークが -hardであることを示しました。クラスは、パラメーター化されたリダクションでCLIQUEに還元可能なパラメーター化された決定問題のクラスを示します。CLIQUEは固定パラメータで扱いにくいと考えられています。パラメーター化された削減では、CLIQUEと同等であることが知られている他の何百もの問題があります。さらに、FeigeとKilian [5、セクション2]には、が入力の一部であり、$k$$k$$k$$W[1]$$W[1]$$k$$k \approx \log n$、ポリタイムアルゴリズムは存在しそうにありません。

制限されたグラフクラスを検討する場合、コードグラフの線形時間で問題を解決できます。単に弦グラフのクリークツリー計算に時間を、その後の任意のクリークは、丁度サイズであるかどうかを確認。平面グラフでは、[6]の方法を使用して時間で三角形を見つけることもできます。O （n + m ）k O （n $G$$O(n+m)$$k$$O(n)$

[1] Itai、Alon、Michael Rodeh。「グラフの最小回路を見つける。」SIAM Journal on Computing 7.4（1978）：413-423。

[2] Nešetřil、Jaroslav、およびSvatopluk Poljak。「サブグラフ問題の複雑さについて。」Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae 26.2（1985）：415-419。

[3] アイゼンブランド、フリードリヒ、ファブリツィオグランドーニ。「固定パラメータークリークと支配セットの複雑さについて」Theoretical Computer Science 326.1（2004）：57-67。

[4]ダウニー、RG、およびマイケルR.フェローズ。「パラメータ化された複雑さの基礎。」コンピュータサイエンスの未卒業生テキスト、Springer-Verlag（2012）。

[5] Feige、Uriel、およびKilian、Joe。「限定非対多項式非決定性について」。理論計算機科学のシカゴジャーナル。（1997）

[6] Alon、Noga、Raphael Yuster、およびUri Zwick。「与えられた長さのサイクルを見つけて数える。」Algorithmica 17.3（1997）：209-223。