キャスタビリティとコンベクシティの関係

凸型ポリゴンとキャスタブルオブジェクトの間に何か関係があるのでしょうか。オブジェクトが凸多角形であることがわかっている場合、またはその逆であることがわかっている場合、オブジェクトのキャスト可能性についてどのように言えますか。

知っておくべき基本的なことをいくつか集めましょう。

型から取り外し可能な場合、オブジェクトはキャスタブルです。

多面体Pは、方向に平行移動することでモールドから削除できます $\vec{d}$ もしそうなら $\vec{d}$ 少なくとも角度を作る $90^{\circ}$ Pのすべての通常のファセットの外向きの法線。

任意のオブジェクトの場合、キャスタビリティーのテストには時間がかかります $O(n^2)$。私の意見では、凸状ポリゴンの場合、線形時間に改善できる場合、すべての新しいトップファセットについて、ベクトルが$\vec{d}$ 少なくとも角度を作る $90^{\circ}$ すべての外向き法線ではなく、Pの2つの隣接する通常のファセットのみ

これが本当なら、少なくとも凸多角形の場合のキャスタビリティのテストで改善があります。

他に、キャスタビリティと凸性について述べることができます。キャスタビリティが凸性について何かを教えてくれるなら、特に興味深いことです。

これは正しい答えですが、正しい定義を取得できなかったと思いますので、遠慮なく訂正してください。これが、最初に確認すべき単純な事実から始める理由です。

あなたが話していると思います $\vec v$「オープン」多面体のキャスタビリティ。

1. 実際、「閉じた」多面体は存在しないようです $\vec v$-キャスタブル。

2. すべてのための $\vec v$、凸状の「閉じた」多面体は、法線の平面の中で常に2つの「開いた」部分に切断できます。 $\vec v$ それは $\vec v$-キャスタブルと $(-\vec v)$-キャスタブル。

3. のテスト $\vec v$-キャスタビリティは $O(n)$ （凸状でなくても）

4. 問題（ありますか $\vec v$ st $P$ です $\vec v$-castable？）に直線的に還元可能であるように思わ凸包であり、$O(n\log n)$：

   1. 最初に、それぞれの外側の法線を検討します $\vec{n_i}$ 単位球のポイントに。

   2. 計算する $H$ これらの点の凸包。

   3. 原点なら $0$ にあります $H$ その後、すべてのために $\vec v$、 $P$ ではありません $\vec v$-キャスタブル。

   4. 原点なら $0$ にない $H$ それから $\vec v$ の投影で始まるベクトル $0$ オン $H$ で終わる $0$。ベクトル$\vec v$ を含まない半スペースを定義します $\vec{n_i}$ つまり $(\vec v, \vec{n_i})>90°$。

   5. 原点なら $0$ の表面にあります $H$、ただの通常を取る $H$ に $0$ ために $\vec v$。

存在する凸包ではない $\vec v$ そのような

1. もし $P$凸状で「開いている」（意味が何であれ）場合は、「フロンティア」と対応する向きのみが必要です。上記と同じアルゴリズムをフロンティア（および方向ベクトル）に適用して、複雑さを軽減します。ポリゴンの場合は$O(1)$ フロンティアの2つのセグメントをすでに知っている場合。

お役に立てれば。

Rappaport and Rosenbloom（1994）による成形可能および鋳造可能なポリゴンから。時計回りの順序でポリゴンの頂点が与えられた場合、2つの成形性はO（n）時間で決定でき、2つの鋳造性はO（n log n）時間で決定できます。