MIN-2-XOR-SATおよびMAX-2-XOR-SAT：それらはNPハードですか？

との複雑さはどのですか？彼らはPですか？それらはNPハードですか？ $\text{MIN-2-XOR-SAT}$ $\text{MAX-2-XOR-SAT}$

これをより正確に定式化するには、

Φ （ バツ ） = \land_{私}^{ん} C_{私} 、

$\Phi\left(\mathbf x\right)={\huge\wedge}_{i}^{n}C_i,$

ここで、あり、各節の形式はまたはです。 $\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_m)$ $C_i$ $(x_i \oplus x_j)$ $(x_i \oplus \neg x_j)$

問題がに割り当て見出すことであるを満たすこと。この問題は、線形方程式modシステムに対応するため、にあります。 $\text{2-XOR-SAT}$ $\mathbf{x}$ $\Phi$ $P$ $2$

問題がに割り当て見出すことである満たされる節の数を最大にします。問題がに割り当て見出すことである満たされる節の数を最小限に抑えます。これらの問題の複雑さは何ですか？ $\text{MAX-2-XOR-SAT}$ $\mathbf{x}$ $\text{MIN-2-XOR-SAT}$ $\mathbf{x}$

MINまたはMAX-True-2-XOR-SAT NP-hardに触発されていますか？

— DW
ソース

回答:

古い投稿に答えてすみません

MONOTONE-2-XOR-SAT（すべての句がの種類である）インスタンスが満足できるかどうかを判断する問題は、グラフが2部かどうかを判断する問題に還元できます。これを参照してください。 $({x_i}\oplus x_j)$

そのためには、数式の各リテラルのノードを持つグラフを作成し、各リテラルが同じ句内にある場合は、それらを別のリテラルに接続します（エッジは句です）。 $G$

例えば：

ある満足できない数式がある場合 $({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_3) \wedge({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_1}\oplus x_4)$

次のようなグラフがあります。

グラフォの二部作

それは二部構成ではありません

満足できる3つの条項があるので、私たちはエッジを排除する必要があります

これで、頂点を持つ最大二部サブグラフを見つけることができるかどうかを決定する問題を、MONOTONE-MAX-2XOR-SAT式の句を満たすことができるかどうかを決定する問題に減らすことができます。これを参照してください。そして、最大二部サブグラフ問題は最大カットと同等です $k$ $k$

削減を行うには、各頂点に新しいリテラルを作成し、2つのリテラルを接続する各エッジに句を作成します

例えば：

このグラフがあります

グラフォの二部作2

次の式 $({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_4) \wedge({x_2}\oplus x_4) \wedge ({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_4}\oplus x_5) \wedge ({x_3}\oplus x_5)$

したがって、句を満たす割り当てが見つかれば、少なくともエッジを持つ二部サブグラフが存在することになります。 $k$ $k$

— ロティア
ソース

MAX-CUTはNP-Hardであるため、MAX-XORSATへの削減は、それがNP-Hardであることも意味します。

— アンチモン

-1

$(x_i\oplus x_j)$ $x_i$ $x_i\oplus x_j$ $x_i\neq x_j$ $x_i\oplus x_j$

グラフのすべての頂点に2色を使用して色を付けることができ、共通のエッジ共有を持つ2つの頂点に同じ色が割り当てられていない場合、方程式は満足できます。

ただし、グラフは2部グラフの場合、2色分けできます。また、グラフが2部構成であるかどうかの判別は、多項式時間で行うことができます。したがって、問題はPにあります。多項式時間でグラフが2部グラフであると判断できる場合、それは解決可能です。それ以外の場合は解決できません。

— jcod0
ソース

ただし、問題ステートメントでは、と両方の句を使用できます。2番目のタイプの句をどのように処理するつもりかはわかりません。2番目のタイプの句がない特殊なケースを解決しようとしていますか？他に何か？おそらく、節が存在するように頂点すべてのペアを縮小/統合できますか？

(x_{i} \oplus x_{j})

$(x_i \oplus x_j)$

(x_{k} \oplus \neg x_{l})

$(x_k \oplus \neg x_l)$

k, l

$k,l$

(x_{k} \oplus \neg x_{l})

$(x_k \oplus \neg x_l)$

— DW

これは私にあなたの答えにもっと深刻な問題をもたらします。問題は、式が満足できるかどうかを決定することではありません。問題は、句の最大数/最小数を満たす割り当てを識別することです。アルゴリズムは、式が満たされるかどうかのみをテストします。したがって、2-XOR-SATは解決されますが、MIN-2-XOR-SATまたはMAX-2-XOR-SATは解決されません-しかし、2-XOR-SATがPにあることは、質問。私は何かを誤解しましたか？

— DW

x_{i} \oplus x_{k}

$x_i\oplus x_k$

しかし、これが私の2番目のコメントにどのように対処するかはまだわかりません。あなたは私が尋ねなかった問題の特別なケースを解決しました。要するに、この答えは私が尋ねた質問には答えません。

— DW