言語の規則性について十分かつ必要な条件

次の説明のうち、正しいものはどれですか。

1. 言語の規則性に関する十分で必要な条件は存在しますが、まだ発見されていません。

2. 言語の規則性について十分かつ必要な条件はありません。

3. 補題のポンピングは、言語の非規則性のために必要な条件です。

4. 補題のポンピングは、言語の非規則性にとって十分な条件です。

＃（4）は正しい、＃（3）はfalseであることを知っています。「このステートメントの逆は真ではありません。これらの条件を満たす言語はまだ非正規である可能性があります」ですが、（1）と（2）？

言語が規則正しくなるためのいくつかの必要十分条件は次のとおりです。

定理。してみましょう。以下の条件は同等です。$L\subseteq\Sigma^*$

• $L$は、正規表現（つまり、正規言語の定義）によって生成されます。
• $L$は、非決定性有限オートマトン（Kleene）によって認識されます。
• $L$は -transitionsのない非決定性有限オートマトンによって認識されます。$\varepsilon$
• $L$は決定論的有限オートマトン（ScottおよびRabin）によって認識されます。
• （N 、Σ 、P 、S ）N Σ $L$は文法によって生成されます。ここで、は（Frazier and Page）の有限サブセットです。$(N,\Sigma,P,S)$$N$$\Sigma^*$
• $L$は、左（または右）の通常の文脈自由文法によって生成されます。
• Nerode関係のインデックスは有限です（Anil Nerode、線形オートマトン変換、1958）。これは、Myhill-Nerodeの定理として広く（そして誤って）知られています。は、通常の言語の最小限のDFAを構築するために使用される関係です。≡ $\equiv_L$$\equiv_L$
• Myhill関係は有限です（John Myhill、有限オートマトンおよびイベントの表現、1957）。は、任意の言語の構文モノイドを構築するために使用される関係です。〜$\sim_L$$\sim_L$
• の構文モノイドは有限です（Myhillの結果の結果）。ここで、関係を使用して定義されることを除いて、構文モノイドは、を準同型のプリイメージとして認識する最小モノイド（サイズ）として定義できることに注意してください。〜L$L$$\sim_L$$L$
• $L$は、読み取り専用のチューリングマシン（自明）で認識できます。
• $L$は、文字列のモナディック2次論理式（Büchi）の数式で定義できます。

言語が通常の言語のポンピングレンマの条件を満たさない場合、その言語は通常ではありません。つまり、補題のポンピングは、言語の非規則性にとって十分な条件です。

要約すると、ステートメント1、2、3は偽であり、ステートメント4は真です。

言語が正規であることを証明するには、DFA、NFA、または正規表現の存在を示すだけで十分です（必要です）。言語が正規でないことを示すには、DFA、NFA、または正規表現が存在しないことを示す必要があります。

ポンピングレンマは、DFAが存在しないことを示すことにより、言語が規則的でないことを（おそらく矛盾によって）示すための有用なツールです。

$L$$L$

ただし、この条件は、言語の非規則性を証明することを正確に容易にするわけではありません。私は、常に非正規言語の非正規性を証明することを確認するのが簡単な条件を知りません。

言語の非規則性を証明できる「テスト」がさらに2つあります（動作しない可能性があります）。それらのunion / intersection / difference / concatenation / quotientが非規則的であるように、いくつかの通常の言語を与えることができます（このようなより多くの操作があります）、それが生成する単語の数を数えて、それが通常の言語の単語数の表現と矛盾していないかどうかを確認できます（リンクしたWikipediaのページにあります）。

ChomskyとSchützenberger [CS63]によって証明された正式な言語理論と正式なべき級数の間には、この素晴らしいつながりがあります。[SS78] Chap。II、定理5.1

$L$$\mathbb{K}$$\mathrm{char}(L)$$\mathbb{K}$

$\mathrm{char}(L)$

[SS78] Arto SalomaaおよびMatti Soittola。形式的べき級数のオートマトン理論的側面 Springer-Verlag、ニューヨーク、1978年。

[CS63] Noam ChomskyとMarcel P.Schützenberger。文脈自由言語の代数理論。P. BraffortおよびD. Hirschbergの編集者、コンピュータプログラミングおよび形式言語、118〜161ページ。北ホランド、1963年。

$I_{L}$$x$$y$$x I_{L} y$

1. $z_{x}$$xz_{x} \in L$$yz_{x} \in L$
2. $z_{y}$$yz_{y} \in L$$xz_{y} \in L$

$I_{L}$$L$

$I_{L}$