固定言語による正しい商に対する閉鎖

私はあなたの次の支援を本当に楽しみにしています：

以下のための任意の固定以下の演算子の下の閉鎖があるかどうかを決定するIの必要性：$L_2$

1. $A_r(L)=\{x \mid \exists y \in L_2 : xy \in L\}$

2. $A_l(L)=\{x \mid \exists y \in L : xy \in L_2\}$。

関連するオプションは次のとおりです。

1. 通常の言語は、 respの下で閉じられます。、すべての言語A r L $A_l$$A_r$$L_2$

2. 一部の言語場合、通常の言語はそれぞれの下で閉じられます。、および一部の言語場合、通常の言語は respの下で閉じられません。。A l A r L 2 A l A $L_2$$A_l$$A_r$$L_2$$A_l$$A_r$

私は（1）の答えは（2）であると信じていました。なぜなら、と単語を取得すると、がに変わる場所を推測できるオートマトンを構築できるからですが、それを検証する必要がありますに属し、それが規則的でない場合、それはそれをどのように行うのでしょうか？ その答えは（1）です。$w \in L$$w=xy$$x$$y$$y$$L_2$

これらの演算子を正しく分析し、通常の言語がそれらの下で閉じられているかどうかを判断するには、どうすればよいですか？

これらの質問に答えるには、 許可する必要があります。だから、L 2は非常に複雑な言語であると考えてみましょう（たとえば、いくつかの決定できない言語）$L_2$$L_2$

簡単な質問から始めましょう： （質問パート2）。取るL 2を決定不能であること、及びL = { ε }。何が起こるのですか？$A_l(L)$$L_2$$L=\{\varepsilon\}$

（モラル：常に「極値」をチェックしてください：空の、L = { ε }およびL = Σ ∗ ...）$L$$L=\{\varepsilon\}$$L=\Sigma^*$

さて、。これは素晴らしい質問です（通常、Final / Homeworksのボーナス質問）。実際、すべての言語L 2に対して、A rの下で通常の言語は閉じられています。決定不能なL 2でも。いいですね$A_r$$A_r$$L_2$$L_2$

それでは、L 2を受け入れるマシンがない場合、オートマトンをどのように構築できますか？$A_r(L)$$L_2$

ここに、「抽象的思考」の魔法、すなわち実存的証明があります。誰かが私たちに与えた場合は、私たちはそこにあることを示すために、この情報を使用することができますが存在する解決するために、いくつかのオートマトンをA （Lを）。今、詳細。$L_2$$A(L)$

のオートマトンから始めます（呼び出しはD F A Lです）。xを処理した後、状態qになると仮定します。我々が存在する場合に同意する必要があり、Yが∈ L 2、我々はから続ける場合、そのようなQの処理Y我々は、最終状態になってしまいますD F A Lを。yがL 2にあるかどうかを判断できるマシンはありませんが、qをD F A A Lの最終状態にすることができます$L$$DFA_L$$x$$q$$y\in L_2$$q$$y$$DFA_L$$y$$L_2$$q$$DFA_{A_L}$上記の条件がいくつか存在する場合、すなわち、保持している場合我々が開始した場合ように、QおよびプロセスY我々は、最終状態で終了D F A L。$y\in L_2$$q$$y$$DFA_L$

そう構築するために、私たちは、の状態の各1調べるD F A Lを、それぞれの状態にするのqを我々はいくつか取ることができれば受理状態のy ∈ L 2をこのyがから私たちをリードするQの受理状態にD F A L。$DFA_{A_L}$$DFA_L$$q$$y\in L_2$$y$$q$$DFA_L$

それでOK、無限であり、我々は内のすべての単語のリストへのコンピュータ持たないかもしれないL 2を、私はそれを描くことができない場合でも、しかし、これはすべての問題...上記のオートマトンは、明確に定義されていません州ごとにあなたに。マジック。$L_2$$L_2$

問題に対する答えを探しているかどうかはわかりませんので、直接提供しません。（ただし、必要に応じてできます。）

あなたが尋ねた：

これらの演算子を正しく分析し、通常の言語がそれらの下で閉じられているかどうかを判断するには、どうすればよいですか？

最初のアプローチは良い方法です。すべての「開かれた」理論の質問と同様に、それが真実であるかどうかについて直感的な感覚を得る必要があります。通常、これは例（一般的なケースとエッジケースの両方）を試すか、特別なケースを調査することによって行われます（たとえば、が通常の場合はコンテキストフリーですか？）。この問題については、オペレーター用のオートマトン/正規表現を作成できるかどうかについて、ある程度推測する必要があります。その後：$L_2$

• できると思うなら、通常の入力言語に対してこのオートマトン/正規表現を構築できる必要があります。$L$
• できないと思う場合は、通常、A xが閉じられないような例の言語およびL 2があります。$L$$L_2$$A_x$

（一方のアプローチが機能しない場合は、いつでももう一方を試すことができます。）

問題自体について：

これらは両方とも正しい商演算子です。（左商は接頭辞の代わりに接尾辞を残すことを含むと信じています。）2つの違いは、一方、A r（L ）= L / L 2であり、ここでL 2は両方の場合。$A_l(L) = L_2 / L$$A_r(L) = L / L_2$$L_2$

あなたはについてのいくつかの直感持つRを、ために考えるので、ここでの何かリットルを：lはの修正バージョン与えL 2を。以来L 2は、非正規可能性があり、それは可能ですリットル残すL 2変わりませんの？その場合、その場合、A lは規則的ではありません。そうでなければ、すべての場合において、A lがL 2を規則的にすると主張する必要があります。$A_r$$A_l$$A_l$$L_2$$L_2$$A_l$$L_2$$A_l$$A_l$ $L_2$