「密な」正規表現は

正規表現の推測は次のとおりです。

正規表現$R$場合、長さ$|R|$括弧と演算子を無視して、その中のシンボルの数になります。例えば$|0 \cup 1| = |(0 \cup 1)^*| = 2$

推測：場合 およびは、長さすべてのストリングが含まれます以下の場合、。L （R ）| R | L （R ）= Σ $|R| > 1$$L(R)$$|R|$$L(R) = \Sigma^*$

つまり、がRの長さまで「密」である場合、Rは実際にすべてを生成します。$L(R)$$R$$R$

関連する可能性のあるもの：

1. すべての文字列を生成するために必要なのは、ほんの一部です。バイナリで、例えば、R = （0 ∪ 1 ）* ∪ Sは任意のために動作します。$R$$R = (0 \cup 1)^* \cup S$$S$
2. ある時点で Kleene星が必要です。存在しない場合は、|より小さいサイズの文字列が欠落します。R | 。$R$$|R|$

証拠や反例を見るといいでしょう。見逃したことが明らかに間違っているケースはありますか？誰もこれ（または似たようなもの）を見たことがありますか？

あなたの推測は、Keith Ellul、Bryan Krawetz、Jeffrey Shallit、およびMing-wei Wangの論文「正規表現：新しい結果と未解決の問題」で反証されています。論文はオンラインでは入手できませんが、講演は可能です。

論文では、彼らは尺度を定義しています、中のシンボルの数であるR、ないカウントεまたは∅。しかし、∅空の言語を生成していないすべての式から排除することができ、式は「クリーンアップ」することができますので、多くのことをε、それが含まれているが、ほとんどです| a l p h（R ）| （講演の10ページの補題）。$|\mathrm{alph}(R)|$$R$$\epsilon$$\emptyset$$\emptyset$$\epsilon$$|\mathrm{alph}(R)|$

51ページでは、すべてのため彼らは、サイズの正規表現コンストラクトO （n個の）上{ 0 、1 }せいぜいサイズのすべての文字列を生成Ω （2 N N ）が、すべての文字列を生成しません。ここでの「サイズ」は、あなたの感覚と彼らの両方の意味であることに注意してください。また、2つのパラメーター間の最適な依存関係を見つけるための未解決の質問もあります。$n \geq 3$$O(n)$$\{0,1\}$$\Omega(2^n n)$