線形方程式に正の解があるかどうかをチェックする複雑さ

線形方程式システムを考えます。ここで、は有理数のエントリを持つ行列です。のランクがであると仮定します。それが解決したかどうかを確認するためにcomplexiy何である、すべてのエントリが、そのようなことを（すなわち、0よりも大きいstricly正のベクトルである）は？もちろん、ガウスの消去法を使用できますが、これは最適ではないようです。$Ax=0$$A$$n\times n$$A$$<n$$x$$x$$x$

まず、これは線形計画法によって解決できます。ましょう、、、あなたの変数です。あなたの質問を解決する線形プログラムは$x_1$$x_2$$\ldots$$x_n$

$\max t$
対象に、のために、。
$t \leq x_i$$i=1 ... n$
$Ax = 0$

最大値が0の場合、正の解はありません。最大値が（つまり、線形プログラムが無制限）の場合、正の解があります。$\infty$

第2に、線形プログラムで標準の変換を使用すると、厳密な不等式を持つ任意の線形プログラムの実現可能性の問題を問題に還元できます。実現可能性の問題から始めます

ようなは存在しますか？$x$
$A x < b$

ここで、新しい変数をこれらすべての方程式の右辺に追加し、不等式を追加してすべてを均一にします。したがって、^番目の方程式については、$x_{n+1}$$x_{n+1} > 0$$k$

$a_{k,1} x_1 + \ldots + a_{k,n} x_n - b_k x_{n+1} < 0$。

これにより、新しい行列同等の問題が生じます。$A'$

ようなは存在しますか？$x$
$A'x < 0$

次に、いくつかの変数を追加し、を要求することで、不等式を方程式に変えることができます。新しい問題の番目の方程式は次のようになります。$y_i$$y_i > 0$$k$

$a'_{k,1} x_1 + \ldots + a'_{k,n} x_n + a'_{k,n+1} x_{n+1} +y_k = 0$。

最後に、すべての変数が正になるようにします。これどうやって？任意の符号を持つすべての変数について、をで置き換え、、必要です。$x_i$$x_i$$z_i - w_i$$z_i>0$$w_i > 0$

実現可能性の問題は、本質的に任意の線形計画問題と同じくらい難しいため、一般に、線形計画を使用するよりも簡単に問題を解決する方法はありません。