minとはどのような言語の場合| NFA | =Ω（最小| DFA |）？

通常の言語を検討する $L$。LETの最小DFAである及びの最小NFAである（特定の言語を認識するためのオートマトンの状態の可能な最小数の意味で最小）。書く オートマトンのサイズ（状態数）が。一般的に、よりはるかに小さい （最悪の場合、決定は指数関数であるため、まで）。$D(L)$$L$$N(L)$$L$$|A|$$A$$|N(L)|$$|D(L)|$$\lg |D(L)|$

最小NFAがDFAのサイズの少なくとも一部であることが保証されている言語に興味があります：。通常の言語のどのファミリーにこの特性がありますか？言い換えると、となる言語のファミリーについて は？$|N(L)| \ge k |D(L)|$$(L_n)$$|D(L_n)| = n$$|N(L_n)| = \Omega(n)$

おそらく、これは簡単な説明ではありませんが、とにかく言及します。あるクラスの言語が頭に浮かびます（このプロパティよりもはるかに興味深い言語のクラスが存在する場合もあります）。

の言語ファミリについて考えここで、。番目の言語の最小NFAの状態は状態（デッド状態がないと想定）ですが、最小DFAの状態は状態（単一のデッド状態と想定）です。私たちは、その持っている。$\{\{\epsilon\}, \{w\}, \{ww\}, ..., \{w^n\}, ...\}$$w \in \Sigma^*$$n$$n|w|+1$$n|w|+2$$n|w|+1 = \Omega(n|w|+2)$

各言語が最大を受け入れることを許可することにより、別のファミリーを取得します; これは、ファミリーです。これらの言語のオートマトンは、他のファミリーの対応するオートマトンとほとんど同じですが、受け入れ状態がより多い点が異なります。$n|w|$$\{\{\epsilon, w, ww, ..., w^n\} \mid n \geq 0\}$

これらはたまたま有限言語の家族です。もちろん、次のように無限言語のファミリを取得することもできます：。$\{\{w^nw^*\} \mid n \geq 0\}$

単一の単語で構成される言語のファミリを検討してください。そのような言語の場合、比率 は未満になるため、このような言語のファミリはプロパティを満たしている必要があります。任意のアルファベットに数えきれないほど多くの有限の文字列があり、その可能なサブセットを検討しているので、この方法で数え切れないほどの数の言語ファミリが得られます。$|\min DFA|$$|\min NFA|$$2$

FWIW、これらの例を得るために、私の考えは、NFAがDFAよりもはるかに優れていない何かを行うことを伴う言語を探しているということでした。これに関しては、ランダムな文字列を受け入れるだけで、他には何もありません。より一般的には、「DFAの正直さ」という非公式な概念があり、これは求められていることに関連しているようです。

ご存知のように、もう少し一般化できると思います。次の形式の言語のファミリは機能するはず for、ここでは任意の通常の言語であり、は任意の有限文字列です。以下のために仮定そのおよび。その場合、ファミリーは常にが必要です。$L_n = \{s_0s_1...s_i\}L$$n \geq 0$$L$$s_n$$L$$|\min DFA| = x$$|\min NFA| = y$$L_n$$|\min DFA| / |\min NFA| \leq x/y$

これが適切であるか、興味深いものであるか、または有用であるかはわかりませんが、これが問題を復活させるものは他にないかと思いました。