「ゼロワン」ジグソーパズルはNP完全ですか？

タイルのわずかなバリエーションである「ジグソーパズル」に興味があります。（正方形）タイルの各エッジには、シンボルがラベル付けされてい、一方のタイルの対面エッジのシンボルがで、もう一方のタイルの対面エッジのシンボルがで、一部の。次に、タイルのセットが与えられた場合、正方形に配置できます（回転しますが、タイルを反転しません）。すべてのエッジが正しく一致しますか？（この問題には4つの「フレーミング」エッジが提供され、ピースがそのフレームに正しく収まる必要があるという変形もあります）。$\{1\ldots n, \bar{1}\ldots\bar{n}\}$$k$$\bar{k}$$k\in\{1\ldots n\}$$m^2$$m\times m$$1\times m$

私は、この問題が十分に大きいためにNP完全である知っている、私が上で見てきたことを境界かなり大きいと思われます。Iは、の値が小さいため問題に興味特にため、すべてのエッジがどちらかの標識されている「ゼロ・ワン」の場合（またはとし、エッジをとエッジに一致しなければならない）。ここには、（回転対称で）たった6つのタイルタイプ（すべてゼロのタイル、すべて1のタイル、3つのゼロと1のタイル、3つの1と0のタイル、2つのゼロの2つの異なるタイルがあります）そして、2つ、「0011」と「0101」）、したがって、問題のインスタンスは単なる仕様です$n$$n$$n$$n=1$$0$$1$$0$$1$$m$5つの数字のセット、、、、とと（タイルの各タイプの数を表す）。問題は明らかにNPにあります（は単項与えられます）解は単純に示され、多項式（$T_{0000}$$T_{0001}$$T_{0011}$$T_{0101}$$T_{0111}$$T_{1111}$$T_{0000}+T_{0001}+T_{0011}+T_{0101}+T_{0111}+T_{1111}=m^2$$m$$m$）時間ですが、NP完全であることが知られていますか、またはここで適用できる動的プログラミングアルゴリズムがありますか？問題の仕様に、一致する正方形の4つのエッジも含まれる「フレーム化された」ケースについてはどうですか？（明らかに、フレーム化されていないケースがNP完全である場合、フレーム化されたケースもほぼ確実に完全です）

小さい値についてこの問題を解決することに興味があると述べたので、SATソルバーまたは整数線形プログラム（ILP）でこれを実装することをお勧めします。どちらでも制約をエンコードできますが、少し異なる方法で：$n$

• SATの場合、各正方形に入るタイルの選択の非常にクリーンなエンコードと、各種類のタイルの数に関する制約の少しクリーンでないエンコードがあります（ビット演算を使用）。

• ILPには、利用可能な各種類のタイルの数に関する制約の非常にクリーンなエンコーディングがあり、タイルを互いに隣接させることができる制約のエンコーディングはやや劣ります（ただし、 ILPで任意のブール式を表現します）。

小規模または中規模の、このアプローチは効率的に機能する可能性があります。$n$