無向DFAによって認識される言語の結果

私の学士論文では、対称DFAによって認識される言語のクラス、つまり、次の条件を満たす決定論的（完全）有限オートマトンを検討します。

してみましょうアルファベットを完全にDFAこと。すべてのおよびすべての遷移、に遷移が場合、を対称 DFA と呼びます（SDFA）。が完全でない場合、これを部分 SDFA と呼びます。SDFAは、自然な方法で無向のラベル付きグラフと見なすことができます。$A$$\Sigma$$a\in \Sigma$$u \stackrel{a}{\longrightarrow}v$$A$$v \stackrel{a}{\longrightarrow}u$$A$$A$$A$

SDFA（完全および部分的）によって認識される言語のクラスの代数的特性を見つけ、いくつかのクロージャープロパティを推定できました。ただし、私も私の監督者も、この特定のクラスの通常言語に関する以前の結果を認識していません（Reingoldののような結果を除外すると、関連しているように見えます）。$\mathsf{SL = L}$

が動機コメントそのJ.-E. 私が尋ねた関連する質問にピンが渡されました。私の質問は次のとおりです。

これらのオートマトンに関する結果はありますか？

部分的な答えしか出せません。してみましょう完全SDFAが認識するすべての定期的な言語のクラスです。次に、はグループ言語のクラスのサブクラスです。グループ言語は、その構文モノイド有限順列オートマトン（各文字は状態の集合で置換を誘導する）によって認識される等価有限群、または、ある言語です。包含は厳密です。ただし、次の結果は保持され、がジェネレータの一種であることを示してい。$\mathcal{S}$$\mathcal{S}$$\mathcal{G}$$\mathcal{S} \subset \mathcal{G}$$\mathcal{S}$$\mathcal{G}$

すべてのグループ言語には、アルファベット、モノイドの射および言語があり、。$L \subseteq A^*$$B$$f: A^* \to B^*$$K \subseteq B^*$$\mathcal{S}$$L = f^{-1}(K)$

証明。ましょう認識するオートマトン順列である。のすべての順列のグループがその転置のセットによって生成されることはよく知られている事実です（転置は2つの状態を順列し、他のすべての状態を修正します）。構造上、オートマトンはSDFAであり、したがって言語を認識します。ここで、各文字について、次のように同じ置換をで定義する単語あります。$\mathcal{A} = (\{1, ..., n\}, A, \cdot, 1, F)$$L$$\{1, ..., n\}$$B$$\mathcal{B} = (\{1, ..., n\}, B, \cdot, 1, F)$$K$$\mathcal{S}$$a \in A$$u_a \in B^*$$\mathcal{B}$$a$で。してみましょうによって定義された射も各文字のための。ことは明らかです。$\mathcal{A}$$f: A^* \to B^*$$f(a) = u_a$$a \in A$$f^{-1}(K) = L$

部分的なSDFAによって認識される言語のクラスは、もちろんよりも大きいですが、すべての通常の言語のクラスを使い果たすわけではありません。実際、がにある場合、の構文モノイドは逆モノイドであり、特にそのべき等べき数が通勤することを示すことができます。この後者のプロパティは、少しだけ大きいクラスの可逆オートマトンによって共有されます。見る$\mathcal{PS}$$\mathcal{S}$$L$$\mathcal{PS}$$L$

J.-É. ピン、有限可逆オートマトンによって受け入れられた言語、第14回ICALP、ベルリン、（1987）、237-249、LNCS 267、Springer Verlag