組合の存在下でのNFAとDFAの指数関数的分離

最近、興味深い質問が出され、その後削除されました。

通常の言語 $L$ 場合、そのDFA複雑度はそれを受け入れる最小DFAのサイズであり、そのNFA複雑度はそれを受け入れる最小NFAのサイズです。少なくともアルファベットのサイズに制限がない場合は、2つの複雑さの間に指数関数的な分離があることはよく知られています。実際、すべての記号を含まないすべての単語で構成されるアルファベット上の言語 $L_n$ を考えます。Myhill-Nerodeの定理を使用すると、DFAの複雑度簡単に計算できます。一方、NFAの複雑さだけで $\{1,\ldots,n\}$ $2^n$ $n$ （複数の初期状態が許可されている場合、そうでない場合は）。 $n+1$

当該削除された質問複雑覆うDFA最小である言語のように最大でDFAの複雑さの言語の（必ずしも互いに素ではない）組合のように書くことができる。複雑さをカバーするDFA はわずかです。 $C$ $L$ $C$ $L_n$ $2$

NFAの複雑さとDFAの複雑さをカバーする指数関数的な分離はありますか？

regular-languages finite-automata

— ユヴァル・フィルマス
ソース

言語考えます。ここで、は新しいシンボルです。のNFA複雑度はです。私たちは、そのDFAカバー複雑であることが表示されます。 $M_n = \epsilon +(L_n \#)^*L_n$ $\#$ $M_n$ $n$ $2^n$

ましょいくつかの言語受け入れるDFAである遷移関数と、。が受け入れ状態であるような単語がある場合、状態実行可能にします。任意の二つの非故障状態の、聞かせて $A$ $L(A) \subseteq M_n$ $q_A$ $s$ $w$ $q_A(s,w)$ $s,t$ すべての単語ことを確認することは困難ではないのように書くことができるいくつかの実行可能なため。

A_{s, t} = {w \in (1 + \dots + n)^{*} : q_{A} (s, w) = t} .

$A_{s,t} = \{ w \in (1+\cdots+n)^* : q_A(s,w) = t \}.$

w \in L (A)

$w \in L(A)$

w = w_{1} # \dots # w_{l}

$w = w_1\# \cdots \#w_l$

w_{i} \in A_{s_{i}, t_{i}}

$w_i \in A_{s_i,t_i}$

s_{i}, t_{i}

$s_i,t_i$

仮定その、各ここで DFAです。レッツ、すべての言語で生成された格子も。私たちは見ることができます言語としてを超えるに対応する任意の二つのシンボルの間のスペース。この観点では、 $M_n = \bigcup_{i=1}^N L(A^i)$ $A^i$ $P$ $A^i_{s,t}$ $L(A^i)$ $L_P(A^i)$ $P^*$ $\#$ $M_n$ 対応し。 $P^*$

コールユニバーサル場合、一部のためは、すべてのそれである場合が存在するそのような。一部のは普遍的であると主張します。それ以外の場合、各には最大 $L_P(A^i)$ $x \in P^*$ $y \in P$ $z \in P^*$ $xyz \in L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ 長さワード。合計で、はすべてを含む必要があります長さワード、したがって十分な大きさのために違反する、。 $(|P|-1)^l$ $l$ $L_P(A^i)$ $|P|^l$ $l$ $|P|^l \leq N (|P|-1)^l$ $l$

が普遍的であると仮定し、簡潔にためにと書きます。ましょ対応する接頭辞こと、と聞かせて、それに対応するいくつかの単語にします。したがって毎いくつかありように。 $L_P(A^i)$ $A = A^i$ $x' \in P^*$ $x \in M_n$ $y \in L_n$ $z_y \in M_n$ $x\#y\#z_y \in L(A_i)$

$S \subseteq \{1,\ldots,n\}$ $y_S$ $S$ $x\#y_S$ $A$ $S \neq T$ $a \in S \setminus T$ $x\#y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \in L(A)$ $x\#y_S y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \notin M_n$ $A$ $2^n$ states.

— Yuval Filmus
ソース