同等のDFAが最大サイズになるためのNFAの条件は何ですか？

DFAは表現力の点でNFAと同等であることがわかっています。NFAをDFAに変換するための既知のアルゴリズムもあります（残念ながら、そのアルゴリズムの発明者を知っています）。最悪の場合、NFAが状態だった場合、状態になります。 $2^S$ $S$

私の質問は、最悪のシナリオを決定するものは何ですか？

あいまいな場合のアルゴリズムの転写を次に示します。

レッツ NFAなります。DFAします $A = (Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $A' = (Q',\Sigma,\delta',q'_0,F')$

$Q' = \mathcal{P}(Q)$ 、
$F' = \{S \in Q' | F \cap S \neq \emptyset \}$ 、
、及び $\delta'(S,a) =\bigcup_{s \in S} (\delta(s,a) \cup \hat \delta(s,\varepsilon))$
、 $q'_0 = \{q_0\} \cup \hat \delta(q_0, \varepsilon)$

ここで、は拡張遷移関数です。 $\hat\delta$ $A$

— ダニエル
ソース

コメントにあるように、DFAの「最小限の」NFA（未解決の問題）を要求することで、このQを救うことができます。この問題はさまざまな方法でP =？NPの質問に密接に関連していると常に考えており、それを示唆する同様の定式化があります。「圧縮可能な」DFAと「非圧縮可能な」DFAについて質問している点で似ています。「非圧縮可能な」は最悪の場合で、最小NFAはほぼDFAのサイズです。、のようないくつかの定理、おそらくそこにある「ランダムで撮影されたほとんどのDFAは、非圧縮性ある[へのNFA]」の文字列などの情報理論の再コルモゴロフ複雑で同様のトリハロメタンがあるとして

— vzn

回答:

参照するアルゴリズムはPowerset Constructionと呼ばれ、1959年にMichael RabinとDana Scottによって最初に公開されました。

タイトルに記載されている質問に答えるために、通常の言語には最大の DFA はありません。DFAを使用して、それらの間の遷移で必要な数の状態をいつでも追加できますが、元の状態の1そして新しいものの一つ。したがって、新しい状態は、初期状態から到達可能でないであろう（以降オートマトンによって受け入れ言語が変更されないので、すべてについて同じままで）。 $q_0$ $\hat\delta(q_0,w)$ $w\in\Sigma^*$

ただし、一意の同等のDFA は存在しないため、同等のDFAが最大になるためのNFAの条件はあり得ないことは明らかです。対照的に、最小 DFAは同型まで一意です。

NFAによって受け入れ言語の標準的な例の等価DFAと状態状態である用A NFA ある $n+1$ $2^n$

L = {w \in {0, 1}^{*} : | w | \geq n and the n -th symbol from the last one is 1} .

$L=\{w\in\{0,1\}^*:|w|\geq n\text{ and the $n$-th symbol from the last one is 1}\}.$

L

$L$

と

、

及び

for

A = ⟨ Q, {0, 1}, δ, q_{0}, {q_{n + 1}} ⟩

$A=\langle Q,\{0,1\},\delta,q_0,\{q_{n+1}\}\rangle$

δ (q_{0}, 0) = {q_{0}}

$\delta(q_0,0)=\{q_0\}$

δ (q_{0}, 1) = {q_{0}, q_{1}}

$\delta(q_0,1)=\{q_0,q_1\}$

δ (q_{i}, 0) = δ (q_{i}, 1) = {q_{i + 1}}

$\delta(q_i,0)=\delta(q_i,1)=\{q_{i+1}\}$

。このNFAにパワーセット構築を適用した結果のDFAは、長さ

ワードすべてを

ワードのサフィックスとして表す必要があるため、

状態になります。

i \in {1, \dots, n}

$i\in\{1,\ldots,n\}$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

L

$L$

— じゃのま
ソース

ちなみに、表示数学モードで中括弧を表示したい場合は、\\ {と\\}を使用します。

— ザックラングレー

@ZachLangley私はすでに試してみましたが、動作しません:

— ジャノマ

プレビューで私のために働いているようです。ただし、4文字しか追加しておらず、最小6文字であるため、編集を送信できません。2つのバックスラッシュを使用していますが、機能しませんでしたか？

— ザックラングレー

@ZachLangley動作しますが、2つのことがあります。1つ目は、最初に回答を投稿したときに動作しませんでした。2番目に、これはcstheoryでのLaTeXレンダリングの動作と矛盾すると思いますが、私は間違っているかもしれません。

— ジャノマ

結果のDFAは最小限ですか？最小限であることを証明する方法について少し話していただけますか？

— user834

$2^{s}$ $\{a, b\}$ $a$ $b$ $a$ $b$ $\lambda$ $a$ $b$ $ab$ $\{q_{1}\}$ $\{q_{2}\}$ $\{\}$ $\{q_{1}, q_{2}\}$

— パトリック87
ソース

同意しましたが、「NFAのすべての可能な状態のサブセットに到達する方法があるかどうか」という質問は重要であり、さらに研究する価値があります

— 。...– vzn

-1

これは知識のフロンティアでの質問、つまり基本的に研究の質問だと思います。簡単なグーグル検索では、ほとんど開いているようです。また、長年、私はそれが重要であり、複雑性理論の下限にリンクしていると信じてきました。統計分析に直接言及することはありませんが、それはあなたの質問によって暗示されるものです。このタイプの質問に対する一般的なアプローチを示すために似ているDFA / NFAの統計研究の2つの例を次に示します。このような質問に対する基本的な実証的研究は、まだほとんど探求されていないようです。確かに、2番目はあなたの質問に直接関係していませんが、現在の研究で見つけることができる最も近いものです。

$x$

このメトリックは、エッジ密度などのグラフ理論メトリックに関連します。おそらく、「爆発」を推定する非常に重要なグラフ理論のメトリックまたはメトリックの組み合わせがありますが、私にはすぐにはわかりません。多分、グラフの色付けメトリックまたはクリークメトリックのようなものを提案できます。次に、「爆発」と「爆発しない」の2つのセットに対してメトリックをテストします。

これまでのあなたの質問に対する他の回答は、「ブローアップ」の例（ケーススタディに有用）のみを示していますが、一般的なメトリックの重要な問題には対処していません。

実証研究の成功裏に開発されたプログラムを見るもう1つの分野は、SAT移行点研究です。それは物理学と熱力学の概念への非常に深いリンクを開発しました。同様の概念がここで適用されると思われます。たとえば、類似した移行ポイントタイプのメトリックを見つける可能性があります。おそらくエッジ密度など。コルモゴロフ圧縮率理論に類似することに注意してください。

また、「爆発」するものとそうでないものは、NP完全問題の「ハード」対「簡単」なインスタンスにまったく似ていると推測します。

この問題を研究するさらに別の方法は、NFA最小化問題を定式化することです。つまり、DFAが与えられた場合、最小限のNFAを見つけます。これは（数年前に）私が最後に聞いたのはまだ未解決の問題でした。

[1] オートマトン最小化アルゴリズムの性能についてマルコアルメイダ、ネルマモレイラ、ロジェリオレイス

[2] 単語を認識しないオートマトン：統計的アプローチ Cristian S. Calude、CezarCâmpeanu、Monica Dumitrescu

— vzn
ソース