ヒープ

おそらく、この質問は以前に聞かれます。CLRS（2nd Ed）problem 6.5-8からのものです-

得マージに時間アルゴリズムをK 1つのソートされたリストの中にリストをソートし、N、すべての入力リスト内の要素の総数です。（ヒント：k方向のマージには最小ヒープを使用します。）$O(n \lg k)$$k$$n$$k$

あるとしてリストをソートし、合計n個の値、私たちはそれぞれのリストが含まれていると仮定しましょう$k$$n$番号、また各リストのは、厳密に昇順にソートされ、そして結果はまた、昇順に格納されます。$\frac{n}{k}$

私の擬似コードはこのように見えます-

    list[k]   ; k sorted lists
    heap[k]   ; an auxiliary array to hold the min-heap
    result[n] ; array to store the sorted list
    for i := 1 to k                 ; O(k)
    do
        heap[i] := GET-MIN(list[i]) ; pick the first element 
                                    ; and keeps track of the current index - O(1)
    done
    BUILD-MIN-HEAP(heap) ; build the min-heap - O(k)
    for i := 1 to n
    do
        array[i] := EXTRACT-MIN(heap)   ; store the min - O(logk)
        nextMin := GET-MIN(list[1])     ; get the next element from the list 1 - O(1)
        ; find the minimum value from the top of k lists - O(k)
        for j := 2 to k                 
        do
            if GET-MIN(list[j]) < nextMin
                nextMin := GET-MIN(list[j]) 
        done
        ; insert the next minimum into the heap - O(logk)
        MIN-HEAP-INSERT(heap, nextMin)
    done

私の全体的な複雑さは。私は避けるためにどのような方法を見つけることができませんでした O （K ）内のループを O （n個の$O(k) + O(k) + O(n(k + 2 \lg k)) \approx O(nk+n \lg k) \approx O(nk)$$O(k)$$O(n)$k個のリストから次の最小要素を見つけるためにループします。他の方法はありますか？アルゴリズムを取得する方法は？$O(n \lg k)$

ヒープの目的は最小限のものを提供することなので、このforループの目的が何であるかはわかりません- for j := 2 to k。

擬似コードの私の見解：

lists[k][?]      // input lists
c = 0            // index in result
result[n]        // output
heap[k]          // stores index and applicable list and uses list value for comparison
                 // if i is the index and k is the list
                 //   it has functions - insert(i, k) and deleteMin() which returns i,k
                 // the reason we use the index and the list, rather than just the value
                 //   is so that we can get the successor of any value

// populate the initial heap
for i = 1:k                   // runs O(k) times
  heap.insert(0, k)           // O(log k)

// keep doing this - delete the minimum, insert the next value from that list into the heap
while !heap.empty()           // runs O(n) times
  i,k = heap.deleteMin();     // O(log k)
  result[c++] = lists[k][i]
  i++
  if (i < lists[k].length)    // insert only if not end-of-list
    heap.insert(i, k)         // O(log k)

したがって、合計時間の複雑度は$O(k * \log k + n * 2 \log k) = O(n \log k)$

また、deleteMinおよびの代わりにinsert、getMin（）および（ O （log k ））を使用することもできます。これにより、定数は減少しますが、複雑さは減少しません。$O(1)$incrementIndex$O(\log k)$

例：（
わかりやすくするために、ソートされた配列として表されるインデックスおよびリストインデックスとヒープではなく値を使用）

Input: [1, 10, 15], [4, 5, 6], [7, 8, 9]

Initial heap: [1, 4, 7]

Delete 1, insert 10
Result: [1]
Heap: [4, 7, 10]

Delete 4, insert 5
Result: [1, 4]
Heap: [5, 7, 10]

Delete 5, insert 6
Result: [1, 4, 5]
Heap: [6, 7, 10]

Delete 6, insert nothing
Result: [1, 4, 5, 6]
Heap: [7, 10]

Delete 7, insert 8
Result: [1, 4, 5, 6, 7]
Heap: [8, 10]

Delete 8, insert 9
Result: [1, 4, 5, 6, 7, 8]
Heap: [9, 10]

Delete 9, insert nothing
Result: [1, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
Heap: [10]

Delete 10, insert 15
Result: [1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
Heap: [15]

Delete 15, insert nothing
Result: [1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15]
Heap: []

Done

まず、アルゴリズムの実行時間が最長リストの長さに依存する場合、エントリを持つすべてのリストの仮定は無効だと思います。$n/k$

あなたの問題に関しては、次のアルゴリズムがトリックを行うはずです：

1. リストの最初の要素をサイズkの最小ヒープに入れます。各要素のリストを覚えておいてくださいリットルメートル、それはに属しています。（O （k lg k ））$H$$k$$l_m$$O(k\lg k)$
2. から1までのnの操作を行います。 $i$$1$$n$
   • Hから最小を抽出し、それをr e s u l t [ i ]（$m$$H$$result[i]$$O(\lg k)$
   • 直接後継挿入におけるL個のMに（もしあれば）をH（O $m$$l_m$$H$$O(\lg k)$

$O(k\lg k + n \lg k)=O(n\lg k)$$result$

$i$$result$$H$$i$$result[1..i]$$i$

$result$$H$$result$$r_1$$l$$r_1$$l[1]$$r_1$$r_1$$l[1] < r_1$$r_1$$result$

$i$$r_i$$H$$H$$m$$l$$l$$H$$result$$r_i$$m$$l$$l$

$result[1..n]$