最小の最大コンポーネントを取得するためにグラフから削除する頂点を見つける

グラフ与えられた場合、k個の頂点{ v ∗ 1、… 、v ∗ k$G = (V, E)$見つけます。これを削除すると、最小の最大成分を持つグラフになります。 $k$$\{v^*_1,\dots,v^*_k\}$

大きな$n = |V|$そして大きい$k$問題は、（NP困難）ことは困難であるが、私は小さな値に興味が$k$（$k \in \{1, 2, 3, 4\}$）。

以下のために$k = 1$、私は最良の頂点を見つけることが可能だと思う$\{v^*_1\}$（すなわち、関節点をチェックする）グラフの単一深さ優先検索を実行することによって除去することを。

以下のために$k = 2$、最高の頂点を見つけることも可能である$\{v^*_1, v^*_2\}$行うことにより、$n$深さ優先検索を（グラフのためにそれらのそれぞれの$G_i = G / \{v_i\}$）。同様のアプローチは、場合にも適用できます$k > 2$。

それ以上の解決策はないのでしょうか。

（関連：必ずしも列挙せずに頂点の最小数を数える）

あなたが説明している問題は、グラフの脆弱性測定の分野ではコンポーネント順序接続性として知られています。問題の決定バージョンは次のとおりです。

コンポーネント注文接続：

入力： グラフ、整数kおよび$G = (V,E)$$k$$\ell$

$X \subseteq V$$k$$G - X$$\ell$

$\ell=1$$\ell$$FPT = W[1]$$W[1]$$k$$k+\ell$

$G,k,\ell$

branching(G,k,l):
    Find a connected set of vertices D of G of size l+1
    if no such D exists:
            return True // no component of size > l
    for v in D:
        if branching(G-v,k-1,l):
            return True
    return False

$(\ell + 1)^k \cdot n^2$

$G,k,\ell$$k+\ell$$X$$k$$G-X$$\ell$$G-X$$X$$|E(G)| \leq n(k+\ell)$

関連する問題は、以前にGraph IntegrityまたはVertex Integrityという名前で調査されており、頂点削除バージョンとエッジ削除バージョンを区別しています。

頂点の完全性：

$G = (V,E)$$p$

$X \subseteq V$$|X| + \max_{D \in cc(G-X)}|D| \leq p$

つまり、削除セットと最大コンポーネントのサイズの合計を最小化する必要があります。この問題もNP困難です。たとえば、

• クラーク、LH、エントリンガー、RC、フェロー、MR：完全性の計算の複雑さ。J. Combin。数学。組み合わせる。Comput 2、179–191（1987）
• Fellows、M.、Stueckle、S .:没入順序、禁止されたサブグラフ、およびネットワーク整合性の複雑さ。J. Combin。数学。組み合わせる。コンピュータ6、23〜32（1989）