出現回数で記述される言語が規則的かどうかは決定可能ですか？

等しい数の0と1を含む単語の言語は規則的ではなく、等しい数の001と100を含む単語の言語は規則的であることが知られています（ここを参照）。

2つの単語与えられた $w_1,w_2$ 場合、同じ数の $w_1$ とを含む単語の言語 $w_2$ が規則的かどうかは決定可能ですか？

regular-languages undecidability

— sdcvvc
ソース

1^{i} 0

$1^i0$ と

01^{i}

$01^i$ 、または

0^{i} 1

$0^i1$ と

以外の、そのように定義された通常の言語の他の例を挙げることができます

10^{i}

$10^i$ か？3シンボルのアルファベットの例はどうですか？

— babou

w_{1}

$w_1$ が

厳密なサブワードである場合

w_{2}

$w_2$ 、言語が空であり、したがって通常である可能性が高くなります。他の例は知りません。

— sdcvvc

上記の例だけが問題を決定可能にするのではないかと思われます。「発生回数で説明する」という意味を十分に正確に説明していません。

— babou

質問の本文は十分に正確なIMOです。

— sdcvvc

これまでの特別な場合の解決策は、

の部分文字列の

w_{1}

$w_1$ 出現が、介在する

単一の出現のみを保証するという考えにかかっているようです

w_{2}

$w_2$ 。どういうわけか、現在の答えが正しいと仮定する[まだ明確ではない]

w_{1}

$w_1$ と

間に何らかの関係があり

w_{2}

$w_2$ 、文字列のスキャン中に「等しい」または「等しくない」状態になることが保証される「ただし、「等しくない」場合は最大有限数だけオフになります。

— vzn

2つの単語 $w_1$ 、与えられた $w_2$ 場合、等しい数のとを含む単語の言語が規則的かどうかは決定可能ですか？ $L$ $w_1$ $w_2$

最初にいくつかの定義：
それらをより簡潔にすることができ、それらを証明で使用する場合は表記を改善することができます。これは最初のドラフトにすぎません。

2つの単語 $w_1$ と与えられた場合 $w_2$ 、次のように言います。

$w_1$ 常に発生すると $w_2$ 留意、 $w_1\triangleleft w_2$ 、IFF
1. であるような文字列 $s$ $s=xw_2y$ とが存在する別の分解。注：およびという条件 $\mid x\mid,\, \mid y\mid\ \geq \mid w_1\mid +\mid w_2\mid$ $|x|_0,|x|_1|,|y|_0,|y|_1| \geq 1$ $s=x'w_1y'$
  $x$ $y$ それぞれが少なくとも0含み、1（@sdcvvcによって見出さ）病的なケースで必要とされる：、および、およびその対称的変異体。 $w_1=1^i0$ $w_2=v1^{i+j}$ $y\in1^*$
2. 文字列が存在するで $s=xw_2y$ 多くても1つの分解に存在するように $\mid x\mid,\, \mid y\mid\ \geq \mid w_1\mid +\mid w_2\mid$ $s=x'w_1y'$
常に共起と留意、 $w_1$ $w_2$ 、それぞれが常に他と一緒に発生する場合、 $w_1\triangleleft \triangleright\,w_2$
とは独立して出現し、 $w_1$ $w_2$ 、どちらも常に発生しない場合、 $w_1\triangleright \triangleleft\,w_2$
常に発生回以上、またはより留意、の任意の文字列を、IFFをようにとある他の分解 $w_1$ $m$ $w_2$ $w_1\triangleleft_m w_2$ $s$ $s=xw_2y$ $\mid x\mid,\ \mid y\mid|\ \geq \mid w_1\mid +\mid w_2\mid$ $m$ $s=x_iw_1y_i$ 以下のためのように、意味。 $i\in[1,m]$ $i\neq j$ $x_i\neq x_j$

これらの定義は、とが発生するはずの文字列の終わりで起こることを無視できるように構築されています。文字列の最後の境界効果は個別に分析する必要がありますが、それらは有限数のケースを表します（実際、以下の最初の分析ではそのような境界サブケースを1つまたは2つ忘れていたと思いますが、実際には問題ではありません）。定義は、発生の重複と互換性があります。 $w_1$ $w_2$

考慮すべき4つの主なケースがあります（と間の対称性を無視します）： $w_1$ $w_2$

おそらく文字列の両端を除いて、両方の単語は必然的に一緒になります。これは、とまたはとの形式のペアのみに関係します。これは、認識される文字列の両端での孤立した出現のみをチェックし、両端または両端で孤立した出現があることを確認する有限オートマトンによって簡単に認識されます。場合も縮退する場合があります。言語Lは明らかに規則的です。 $w_1\triangleleft \triangleright\,w_2$
$1^i0$ $01^i$ $0^i1$ $10^i$ $w_1=w_2$
ではなく、 2つの単語が他なしで起こることができないが、逆は真ではないの一つ（ストリングの端部に可能性を除きます）。これは次の場合に発生します。 $w_1\triangleleft w_2$ $w_2\triangleleft w_1$
- は部分文字列です。有限オートマトンは、がインスタンスの外側に発生しないことを確認できます。 $w_1$ $w_2$ $w_1$ $w_2$
- 及びいくつかの単語のための、：その前の場合のように、有限オートマトンチェックから分離が発生しない。ただし、オートマトンでは、場合に受け入れられる追加インスタンスを1つカウントできます。 $w_1=1^i0$ $w_2=v1^j$ $v\in\{0,1\}^*$ $v\neq01^i$ $w_1$ $w_2$ $w_1$ $w_2$ 文字列の接尾辞です。他にも3つの対称的なケースがあります（1-0対称および左右対称）。
2つのワードの一方が他方に二度起こります。これは、文字列に小さな単語が出現しないことをチェックする有限自動化によって認識できます。また、より小さな文字列、この場合にはケース2の2つのバリエーションオートマトンチェック組み合わせやや複雑変異体である発生しないが、の一部としておそらく除く外大きい方で接尾辞として来ストリングの（および対称性による他の3つのケース）。 $w_1\triangleleft_2 w_2$
$1^i0$ $v$ $v1^j$
つの単語は互いに独立して発生します。Generalized-Sequential-Machine（gsm）を作成します。これは、発生を認識したときにとの発生を認識し、他のすべてを忘れときにを出力ます。言語は、言語が正規の場合にのみ正規です。しかし、 $w_1\triangleright \triangleleft\,w_2$
$G$ $a$ $w_1$ $b$ $w_2$ $L$ $G(L)$ これは明らかにコンテキストフリーであり、規則的ではありません。したがって、は規則的ではありません。実際には、です。gsmマッピングと逆gsmマッピングでは通常の言語とコンテキストフリー言語が閉じられているため、がコンテキストフリーであることもわかっています。 $G(L)=\{w\in\{a,b\}^*\mid\ \mid w\mid_a=\mid w\mid_b\}$ $L$
$L=G^{-1}(G(L))$ $L$

正式な証拠を整理する1つの方法は、次のとおりです。最初に、言語を認識するPDAを構築します。実際には、1カウンターマシンで実行できますが、有限制御の重複を避けるために2つのスタックシンボルを持つ方が簡単です。次に、FAである必要がある場合は、2つの単語のみに依存する定数でカウンターを制限できることを示します。その他の場合、カウンターが任意の値に到達できることを示します。もちろん、PDAは、証明が簡単に持ち運べるように編成する必要があります。

FAを2スタックシンボルのPDAとして表現するのがおそらく最も簡単な表現です。非正規の場合、PDAの有限制御部分は、上記の校正スケッチのGSMの有限制御部分と同じです。代わりに、出力のさんと GSMのようにs 'は、PDAはスタックに数の差をカウントします。 $a$ $b$

— バブー
ソース

3つの単語の場合、文脈自由性について質問がありました。同様に分析できるとわかったときに削除しました。私は最初、非CF性を証明することはオリジナルの練習になると考えていましたが、GSMはそれを台無しにします。

— babou

「互いに独立して発生する」、「必然的に一緒になる」などの意味は明確ではありません。代わりに正式な定義を書き、すべてのケースをカバーしていることを証明してください。

— sdcvvc

あなたが何を求めているのか、どのレベルの形式化が必要なのか、どのような目的のためかわからない。私は、2つの単語の可能な関係を手で分析しても正しいとは限らず、とにかく重要ではないことに気付きました。重要なのは、ある単語の出現が、他の単語の出現（または複数）を同時に作成することなく存在できるかどうかです。それは常にローカライズされ、したがって有限に管理できるため、詳細は重要ではありません。どちらもローカライズされているため、両端は関係ありません。発生の重複であっても、1か所で有限数にしかなれないため、重要ではありません。

— babou

コメントで言及された用語の正確な定義について尋ねました。それらを書いてくれてありがとう。以前にそれらを推測することになっていましたか？とにかく、という主張に思える

。これは、

に

が発生しないため、「

常に

発生」の定義の条件1を満たしません。

0^{i} 1 ◃ ▹ 1 0^{i}

$0^i 1 \triangleleft \triangleright 1 0^i$

w_{1}

$w_1$

w_{2}

$w_2$

1 0^{i}

$1 0^i$

s = 0^{M} 0^{i} 1 1^{M}

$s=0^M 0^i 1 1^M$

— sdcvvc

申し訳ありませんが、私はあなたに推測させるつもりはありませんでした。あなたが何を望んでいたかを正確に理解するのに時間がかかりました。私の失敗のみ。あなたの反例については、あなたは正しいです。しかし、私にとってそれは、関係の定義において、テロメアについてもう少し注意しなければならないことを意味するだけです。私はそれらをあまりにも早く定義しましたが、このコンテキストでは

または

はあまり情報を伝えません。これは実際には病理学的ケース内の境界病理学的例であり、3つ以上のシンボルが使用されている場合は実際には発生しません。私はそれが何かを変えるとは思わない。

0^{M}

$0^M$

1^{M}

$1^M$

— babou