一部の要素が他の要素の間に入らないように要素を順序付けする

整数所与と異なる整数のトリプレットの集合そのいずれかのアルゴリズムを見つけます。発見A順列組の、その結果 $n$

S \subseteq {(i, j, k) ∣ 1 \leq i, j, k \leq n, i \neq j, j \neq k, i \neq k},

$S \subseteq \{(i, j, k) \mid 1\le i,j,k \le n, i \neq j, j \neq k, i \neq k\},$

π

$\pi$

{1, 2, \dots, n}

$\{1, 2, \dots, n\}$

または、そのような順列が存在しないと正しく判断します。あまり正式ではないが、1から

までの番号を並べ替えたい。各トリプル

における

ことを示している

前に現れなければならない

(i, j, k) \in S ⟹ (π (j) < π (i) < π (k)) \lor (π (i) < π (k) < π (j))

$(i,j,k) \in S \implies (\pi(j)<\pi(i)<\pi(k)) ~\lor~ (\pi(i)<\pi(k)<\pi(j))$

n

$n$

(i, j, k)

$(i,j,k)$

S

$S$

i

$i$

k

$k$ 新しい順序で、ただし

が

と

間に現れてはなりません。

j

$j$

i

$i$

k

$k$

例1

仮定及び。その後 $n=5$ $S = \{(1,2,3), (2,3,4)\}$

でない有効な順列、なぜならが、。 $\pi = (5, 4, 3, 2, 1)$ $(1, 2, 3)\in S$ $\pi(1) > \pi(3)$
ではない有効な順列、なぜならが、。 $\pi = (1, 2, 4, 5, 3)$ $(1, 2, 3) \in S$ $\pi(1) < \pi(3) < \pi(5)$
有効な順列です。 $(2, 4, 1, 3, 5)$

例2

$n=5$ $S = \{(1, 2, 3), (2, 1, 3)\}$ $n=5$ $S = \{(1,2,3), (3,4,5), (2,5,3), (2,1,4)\}$

$S$

algorithms optimization scheduling

— パトリック87
ソース

(σ_{m_{i}}, σ_{m_{j}}, σ_{m_{k}}) \in S ⟹ (i > j \lor j > k)

$(\sigma_{m_i},\sigma_{m_j},\sigma_{m_k})\in S\Longrightarrow (i>j \vee j>k)$

ところで：この問題の動機は何ですか？

— Dave Clarke

@DaveClarke私の編集を参照してください。この問題は、私が研究室で他の何人かの学生と話し合ったスケジューリングの問題に関する議論から抽象化されています。基本的には、多くのジョブがあり、そのいくつかは特定の順序で実行する必要があるという考えです。ただし、非常に微妙な理由により、一部のジョブがシーケンス内のジョブ間でスケジュールされないようにする必要があります。

— Patrick87

Σ = {1, 2, \dots, n}

$\Sigma = \{1,2,\dots,n\}$

σ

$\sigma$

これが素朴なアルゴリズムです。最終的にはブルートフォースに依存しますが、大丈夫な場合もあります。

$(\sigma_{m_i}, \sigma_{m_j}, \sigma_{m_k}) \in S \implies i < k \wedge \neg(i < j < k)$ $A$ $i < k$ $B$ $\neg(i < j < k)$ $B$ $i>j \vee j>k$ $i\neq j,j\neq k$

$A$ $\Theta$ $O(|S|)$
$B$ $\Theta$ $\Theta$ $B$ $\Theta$ $O(|S|^2)$
$B$ $\Theta$ $|S|$
$B$
$A$ $B$

$n$ $x_i$ $[0,n-1]$

— デイブ・クラーク
ソース

ここに部分的な答えがあります：

$i \lt k$ $NP$ $i \lt k$

— ムハンマドアルトルキスタニー
ソース