完全な正方形のバイナリ表現の言語は通常ですか？

整数バイナリ表現を表すとしましょう。ましょう。$\mbox{bin}(n)$$n$$L = \{ \mbox{bin}(n^2) \mid n \in \mathbb{N} \}$

ある正規言語？$L$

ポンピングレンマを使用してが正規でないことを証明できると思いますが、ここではそれを使用する方法がわかりません。$L$

補題から始めます。

補題。してみましょう。場合正方形であり、その後。$a>b \geq 4$$2^a+2^b+1$$a \geq 2b-3$

証明。してみましょう。明らかには奇数でなければなりません。たとえば、です。次に、となり、。が偶数の場合、は奇数なので、奇数場合はであり、したがってなのでです。が奇数の場合、何らかの奇数は必ずであり、したがって$2^a+2^b+1 = x^2$$x$$x = 2y+1$$x^2 = 4y^2 + 4y + 1$$(y+1)y = y^2+y = 2^{a-2} + 2^{b-2} = 2^{b-2}(2^{a-b}+1)$$y$$y+1$$y = 2^{b-2}z$$z$$2^{a-b}+1 = (2^{b-2}z+1)z \geq 2^{b-2}+1$$a \geq 2b-2$$y$$y+1 = 2^{b-2}z$$z$$2^{a-b}+1 = z(2^{b-2}z-1) \geq 2^{b-2}-1 = 2^{b-3} + 1 + (2^{b-3}-2)$。以来、我々は結論付けることができ、その。$b \geq 4$$a \geq 2b-3$$\square$

してみましょう。補助定理によれば、内のすべての単語フォームであるを有する。さらに、、すべての、。$L' = L \cap 10^*10^*0001$$L'$$10^{a-b-1}10^{b-1}1$$a-b-1 \geq (b-1)-3$$2^{2c} + 2^{c+1} + 1 = (2^c+1)^2$$c \geq 3$$10^{c-2}10^c1 \in L'$

が規則的である場合、同様であり、その最小DFAは状態であると言います。単語考え、部分文字列をマークします。拡張ポンピング補題は、いくつかの、がすべての。しかし、私たちの補題によると、すべてのために、私たちは持っている必要がありので、のために偽である、。$L$$L'$$p$$10^{p-2}10^p1 \in L'$$0^p$$0 < q \leq p$$10^{p-2}10^{p+q(t-1)}1 \in L'$$t \geq 0$$t$$p-2 \geq p+q(t-1)-3$$1 \geq q(t-1)$$t \geq 3$