単調なブール式の充足可能性を決定するNP完全性を証明する

この問題を解決しようとしていますが、本当に苦労しています。

単調ブール式は、すべてのリテラルが正である命題論理式です。例えば、

$\qquad (x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor x_3) \land (x_3 \lor x_4 \lor x_5)$

単調なブール関数です。一方、次のような

$\qquad (x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_5)$

単調なブール関数ではありません。

この問題のNP完全性をどのように証明できますか：

変数が1に設定されている場合、単調なブール関数が充足可能かどうかを判別しますか？$k$$1$

明らかに、すべての変数を正の値に設定することができますが、それは些細なことなので、正に設定された変数には制限があります。$k$

私はSATからモノトーンブール式への削減を試みました。私が試したことの1つは、すべての負のリテラルにダミー変数を代入することです。例えば、私が交換しようとしたとZ 1、及び私は強制的に試み、X 1およびZ 1が異なる値であること。私はこれをうまく機能させることができませんでした。$\neg x_1$$z_1$$x_1$$z_1$

あなたが見ている問題の「親」は、Weighted Satisfiability（WSAT、特にパラメーター化された複雑さ）またはMin-Ones（これは通常最適化バージョンですが、十分に近い）と呼ばれることもあります。これらの問題には、定義機能として「最大で変数がtrueに設定されている」という制限があります。$k$

モノトーンの式に対する制限は、実際には驚くほど簡単に硬さを示すことができます。ちょっと満足できる問題以外のものが必要です。SATインスタンスを変更しようとする代わりに、Dominating Set（DS）から始めます。

そこから入手できるかどうかを確認してください。ネタバレはもっと細かく分けられていますが、できる限り避けてください。NPのメンバーシップは表示しません。問題はないはずです。

インスタンスを考えると DSの（私たちは最大でサイズの支配集合たい。すなわち、K用Gを）、私たちは、インスタンスを作成することができます（φ 、k個）式WSATのφは、単調CNF式です。$(G, k)$$k$$G$$(\phi,k)$$\phi$

基本構造：

毎、我々は変数有するV ' ∈ VAR （φを）、それぞれについてV ∈ V （G ）、我々は句有するのC Vを = ⋁ U ∈ N （V ） U '。$v\in V(G)$$v' \in \text{var}(\phi)$$v \in V(G)$$c_{v} = \bigvee_{u\in N(v)} u'$

証明のスケッチ：

各頂点は、支配セットにしておく必要があり、またはある隣人を持って、我々は見つけることができますので、もしどちらかの支配的なセットを形成する頂点を、対応するk個の変数をtrueに設定することができφ、および各句が少なくとも含まれている必要がありますそれらの中の一つ。同様に、割り当てを満たす重みkがある場合、真の変数は支配集合に配置する頂点に対応します。すべての節c vには少なくとも1つが必要であるため、各vが（それ自体またはそれ以外で）支配されます。$k$$k$$\phi$$k$$c_{v}$$v$

SATから簡単に削減できます。新しい変数の導入表現する¬ X Iを。式所与φ、新たな式を作成φ 'の各出現置き換えることにより¬ xはIを用いてZ I、及び句を追加するxはI ∨ Z I変数ごと。kを元の変数の数に設定します。新しい式φは「単調であり、最もk個の変数場合は、trueに設定されている場合のみにして充足φが充足可能。（これは、$z_i$$\neg x_i$$\phi$$\phi'$$\neg x_i$$z_i$$x_i \vee z_i$$k$$\phi'$$\phi$$k$互いに素な句はのための任意の満足assigmentせるφ '少なくとも有するようにk個の変数をTrueにします。ただし、kを最大にする唯一の方法は、各ペア{x_i、z_i}に対して正確に1つをtrueに設定することです）$x_i \vee z_i$$\phi'$$k$$k$