TSPに減少する継続的な最適化問題

点有限集合が与えられたとしましょう平面内のと、を介して2階微分可能な曲線を描くように求められ、その外周はできるだけ小さくなります。およびと仮定すると、この問題を次のように形式化できます。 $p_1,p_2,..p_n$ $C(P)$ $p_i$ $p_i=(x_i,y_i)$ $x_i<x_{i+1}$

問題1（スレシュのコメントに応答して編集された）を決定関数パラメータのように弧長さ $C^2$ $x(t),y(t)$ $t$ で、最小化される及びすべてのため、我々は。 $L = \int_{[t \in 0,1]} \sqrt{x'^2+y'^2}dt$ $x(0) = x_1, x(1) = x_n$ $t_i: x(t_i) = x_i$ $y(t_i)=y_i)$

問題1がNP困難であることをどのように証明（またはおそらく反駁）しますか？

なぜ私はNP困難が疑われる と仮定仮定が緩和されています。明らかに、最小限の弧長の関数では、巡回セールスマンのツアーでさん。おそらく、制約は問題をはるかに難しくするだけですか？ $C^2$ $p_i$ $C^2$

コンテキストこの問題の変種がMSEに投稿されました。そこにもMOにも回答がありませんでした。問題を解決するのは簡単ではないので、それがどれほど難しいかを確認したいと思います。

— PKG
ソース

という制約により、問題がはるかに簡単になるようです。特に、

制約を削除した場合、ポイントを直線で結ぶため、なぜこの問題は簡単に解決されないのでしょうか。

x_{i} < x_{i + 1}

$x_i < x_{i+1}$

C_{2}

$C_2$

— Suresh 2012

それは機能ではありません。

であるという制約の下で

から

に「ループアラウンド」すると、曲線は垂直線と2回交差します。

p_{3}

$p_3$

p_{2}

$p_2$

x_{1} < x_{2} < x_{3}

$x_1 < x_2 < x_3$

— Suresh

明確ではありませんが、ここで「決定」することによって何を意味するのかを述べる必要があります。これは標準的な用語ではありません。それは決定の問題でさえないので、NP-hardという用語を使用しても意味がありません。

— Kaveh

@シュレッシュ、出力部分を拡張できますか？列挙可能な一連の曲線から呪いの名前を出力することを意味していると思います。その場合、最適な曲線が常にそのクラスからのものになることは明らかではないことに注意してください。一方、それらの間で最良または良いものを見つけることを意味する場合（または最適な曲線への特定のパラメーターまでの近似）、パラメトリック曲線のクラスを指定する必要があります。それ以外の場合、質問は不完全であり、答えた。

— Kaveh

入力/出力はもはや有限オブジェクトではありません。たとえば、実際に実際の数値/関数を扱っている場合、問題はより高いタイプです。各無限オブジェクトは、目的のオブジェクトに対する無限の一連の近似によって与えられます。興味があれば、CCAネットワークのページにさらにリンクがあります。

— Kaveh

微分要件は、問題の性質を変えない：必要と（連続）または（無限微分）は長さやポイントの同じ順番のために下限同じを与え、巡回セールスマン問題を解くことと等価です。 $\mathcal{C}^0$ $\mathcal{C}^{\infty}$

TSPのソリューションがある場合、すべてのポイントを通過するカーブがあります。逆に、あなたが持っているとのすべての点を通過する有限の長さの曲線を、と聞かせ、それがポイントと横断する順番も対応するパラメーター（曲線がポイントを2回以上トラバースする場合は、考えられる値のいずれかを選択します）。次に、セグメントから構築された曲線 $\mathcal{C}^0$ $\mathcal{C}^0$ $p_{\sigma(1)}, \ldots, p_{\sigma(n)}$ $t_1,\ldots,t_n$ $t$ $n$ $[p_{\sigma(1)},p_{\sigma(2)}], \ldots, [p_{\sigma(n-1)},p_{\sigma(n)}], [p_{\sigma(n)},p_{\sigma(1)}]$ 各セグメントの直線は、点を結ぶ他のどの曲線よりも短いため、より短くなります。したがって、ポイントのすべての順序に対して、最良の曲線はTSPソリューションであり、TSPソリューションはポイントの最良の順序を提供します。

今度は曲線を必要とするようにすることをお見せしましょう（またはの任意のためのの点の最良の順序を変更しません）。全長の任意のTSP溶液についてと任意の、我々はすべてのコーナーを丸めることができ、すなわち、構築同じ順序でポイントを通過し、最大で長さを持つ曲線明示的な工事が依存を（代数関数とは、バンプ関数を定義し、カーブセグメント間の滑らかな接続から $\mathcal{C}^{\infty}$ $\mathcal{C}^k$ $k$ $\ell$ $\epsilon > 0$ $\mathcal{C}^{\infty}$ $\ell + \epsilon$ $e^{-1/t^2}$ に接続しでとしてで。これらを明示的にするのは面倒ですが、それらは計算可能です）; 従って、下部行き曲線セグメントの集まり（下限は、一般的には達していないことに注意してください）と同じです。 $e^{1-1/x^2} (x-e^{-1/(1-x)^2})$ $y=0$ $x=0$ $y=x$ $x=1$ $\mathcal{C}^{\infty}$

— ジル「SO-悪であるのをやめる」
ソース

これは、正確に長い時間のために、私が探していた引数！面倒な構造のリファレンスを教えてもらえますか？

— PKG 2012

これは完全に厳密なものではありません。特に、平面内では多項式時間でTSPを任意に適切に近似できるためです。

— Suresh

TSPをポリタイムで2倍以内に概算できると思いましたか？

— PKG 2012

@PKG構造にはおそらく名前が付いていますが、微積分のクラスは私がそれを覚えるには長すぎると思います。基本的な接続がバンプ機能と呼ばれることを覚えています。

— Gilles「SO-邪悪なことをやめなさい」

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

1 + ϵ

$1+\epsilon$