与えられた長さの通常の言語の単語数の漸近

通常の言語場合、をの長さ単語数とします。ジョーダン正準形（の一部のDFAの注釈なし遷移行列に適用）を使用すると、十分に大きい、ここで、は複素多項式で、は複素「固有値」です。（小さい、という形式の追加の項があり。ここで、および場合、はです $L$ $c_n(L)$ $L$ $n$ $L$ $n$

c_{n} (L) = \sum_{i = 1}^{k} P_{i} (n) λ_{i}^{n},

$c_n(L) = \sum_{i=1}^k P_i(n) \lambda_i^n,$

P_{i}

$P_i$

λ_{i}

$\lambda_i$

n

$n$

C_{k} [n = k]

$C_k[n=k]$

[n = k]

$[n=k]$

1

$1$

n = k

$n=k$

0

$0$ さもないと。これらは、サイズが少なくとも、固有値がジョーダンブロックに対応し。

k + 1

$k+1$

0

$0$

この表現は、が無限大の場合、漸近的にに対してを暗示しているようです。ただし、これは明らかに誤りです。長さが偶数のすべての単語のを超える言語の場合、ただし。これは、一部のおよびすべてに対して、十分な大きさのに対してまたは。これはFlajolet＆Sedgewickで証明されています $L$ $c_n(L) \sim C n^k \lambda^n$ $C,\lambda>0$ $L$ $\{0,1\}$ $c_{2n}(L) = 2^{2n}$ $c_{2n+1}(L) = 0$ $d$ $a \in \{0,\ldots,d-1\}$ $c_{dm+a}(L) = 0$ $m$ $c_{dm+a} \sim C_a (dm+a)^{k_a} \lambda_a^{dm+a}$ （定理V.3）、Berstelの証拠の帰属。

FlajoletとSedgewickによって提供された証明はやや技術的です。実際、非常に技術的なので、彼らはそれをスケッチするだけです。ペロン・フロベニウス理論を使用して、より基本的な証明を試みました。DFAの遷移グラフを有向グラフと見なすことができます。有向グラフが原始的である場合、結果はペロン-フロベニウスの定理からほぼ直接続きます。有向グラフが既約ではあるが、インデックス $r$ で限定的である場合、DFA の「 $r$ 乗」を考慮することにより（各遷移は $r$ 個のシンボルに対応します）、同じ結果が得られます。難しいケースは、有向グラフが簡約可能である場合です。強く接続されたコンポーネントのパスの場合に減らすことができ、次の形式の合計を推定することで結果を取得します。

\sum_{m_{1} + \dots + m_{k} = m} \prod_{i = 1}^{k} λ_{i}^{m_{i}} .

$\sum_{m_1+\cdots+m_k=m} \prod_{i=1}^k \lambda_i^{m_i}.$ （そのような合計は、単語を受け入れる特定の方法に対応し、特定の方法で異なるコンポーネントを通過します。）この合計は、

対応する最大の用語を特定することで推定できます

m_{i} \propto \log λ_{i}

$m_i \propto \log \lambda_i$ 。

r

$r$ 回繰り返されるすべての固有値に対して、

追加因子を取得し

Θ (m^{r - 1})

$\Theta(m^{r-1})$ ます。

証明には粗いエッジがあります：簡約可能な場合、 $C \lambda_i^m$ に漸近する項から上記の合計に渡してから、合計を推定する必要があります。

FlajoletとSedgewickによる証明はおそらく簡単ですが、基本的ではありません。その出発点はの有理生成関数で $c_n(L)$ あり、極の大きさの誘導（！）を伴います。基本的な考え方は、Berstelの（適度に簡単な）定理により、最大モジュラスのすべての固有値がユニティの根（モジュラスで正規化されている場合）であるということです。適切な $d$ を選択し、長さ単語を見ると $dm+a$ 、これらの固有値はすべて実数になります。部分分数展開を考慮すると、最大モジュラスの固有値が「生き残った」場合、形式の漸近式が決定されます。 $Cn^k\lambda^n$ 。それ以外の場合、この長さの単語にのみ対応する新しい合理的な生成関数を見つけ（アダマール積を使用）、引数を繰り返します。前述の量は減少し続けているため、最終的には希望する漸近性が見つかります。 $d$ は、誘導ステップで発生するすべてを反映するために、プロセスで成長する必要がある場合があります。

漸近特性の簡単で基本的な証明はあり $c_n(L)$ ますか？

— ユヴァル・フィルマス
ソース

一番上の「漸近的特性」とはどのようなものですか？

— ラファエル

まさにそのプロパティ。

— ユヴァルフィルマス

縮小可能な場合、単純な組み合わせの境界はありませんか（パスのサブセットとパスのマルチセットを考慮して取得される可能性があります）？

— アンドラスサラモン

簡単な境界がありますが、おそらく多項式因子を失います。多項式的に多くの項を持つ合計があり、最大の項を使用して推定できます。ただし、他の項は非常に急速に減衰するため、これでは正しい漸近線が得られません。おそらく積分による推定は可能ですが、それはすでに少し面倒になっています。

— ユヴァルフィルマス

一般に、問題の代替またはより基本的な証拠を見つけることは非常に困難であり、主に理論的な演習です...さらなる動機/ BKG /アプリケーションはありますか？cstheoryに移行することをお勧めします。

— vzn

あなたがスケッチした議論は、リチャード・スタンレーの列挙型コンビナトリクス、第1巻のトランスファー・マトリックス法の取り扱いと一致しているように思われます（link：pp 573; print：pp 500）。

彼は生成関数から始め、有向グラフと許容および禁止要因を考慮してそれを展開します。次に、彼は無料のモノイドに抽象化し、あなたが証明した和の洗練されたバージョンを使用します：

4.7.11命題レッツのサブセットである自由に生成さ。次に、 $B$ $A^*$ $B$ $B^*(\lambda)=(I-B(\lambda))^{-1}$

いくつかのアプリケーションを処理した後、彼は同様に、水平に凸のポリオミノに関連してアダマール製品を議論することでセクションを閉じます。

— JSS
ソース

漸近的な推定を与えるスタンレーのテキストの定理を指摘できますか？

— ユヴァルフィルマス14年

Stanleyには、直接的で明確な参考文献は見つかりませんが、FlajoletとSedgewickは、セクションV.6の伝達行列法の扱いに対する彼の影響を認めています。特に、Corollary V.1は、あなたの推論の線に従っていると思われる以前の定理（V.7、V.8）を包含しています。また、サブセクションV.5から始まるスタンレーの概要に従っているようです。ここで、命題V.6はスタンレーの定理4.7.2および結果4.7.3

— JSS

私が特に探しているのは漸近解析です。伝達行列法で与えられた、与えられた長さのワード数の正確な公式は、私が当たり前だと思うものです。

— ユヴァルフィルマス14年