計算可能性と複雑さの理論（およびおそらく他の分野）では、縮約は遍在しています。そこに多くの種類がありますが、原理は同じまま：1の問題というのショー他のいくつかの問題として、ハードとして少なくともあるからのマッピングのインスタンスによる内の溶液と同等のものに。基本的に、プリプロセッサとしてリダクション関数を使用できるようにすると、ソルバーはすべてを解決できることを示します。L 2 L 2 L 1 L 1 L $L_1$$L_2$$L_2$$L_1$$L_1$$L_2$

私は長年にわたって削減のシェアを実行してきましたが、何かが私を悩ませ続けています。すべての新しい削減には（多かれ少なかれ）創造的な構築が必要ですが、タスクは繰り返し感じることができます。正規のメソッドのプールはありますか？

削減関数を構築するために定期的に使用できるテクニック、パターン、およびトリックは何ですか？

^{これは参照質問になると思われます。したがって、少なくとも1つの例で説明されているが、多くの状況をカバーする、一般的で教訓的に提示された答えを与えるように注意してください。ありがとう！}

特別な場合

還元概念に関してを表示したいとします。場合ある特殊なケースの、それは非常に簡単です：私たちは、基本的に恒等関数を使用することができます。この背後にある直感は明らかです。一般的なケースは、少なくとも特別なケースと同じくらい難しいです。$L_1 \leq_R L_2$$R$L $L_1$$L_2$

「練習」では、が与えられ、適切なリダクションパートナーを選択する問題、つまり、困難であることが証明された特別なケースを見つける問題にこだわっています。L 1 L 2$L_2$$L_1$$L_2$$R$

簡単な例

KNAPSACKがNPハードであることを示したいとします。幸いなことに、SUBSET-SUMはNP完全であり、実際にはKNAPSACKの特別なケースです。削減

$\qquad f(A,k) = (A, (1,\dots,1), k, |A|)$

十分です; 我々は少なくとも値を達成できるかどうかを尋ねるナップザックインスタンスであるの項目値とから対応する重みように下に残るの合計です。SUBSET-SUMをシミュレートするためのウェイト制限は必要ないため、トートロジー値に設定するだけです。v V W $(V,W,v,w)$$v$$V$$W$$w$

簡単な運動問題

MAX-3SATの問題を考えてみましょう。命題式と整数与えられた場合、少なくとも節を満たす解釈があるかどうかを判断します。NPハードであることを示します。K φ $\varphi$$k$$\varphi$$k$

3SATは特別なケースです。とにおける節の数十分です。M $f(\varphi) = (\varphi, m)$$m$$\varphi$

例

SUBSET-SUM問題を調査しており、NP困難であることを示したいとします。

幸運にも、PARTITIONの問題がNP完全であることを知っています。それが確かにSUBSET-SUMの特別なケースであることを確認し、公式化します

$\qquad \displaystyle f(A) = \begin{cases} \left(A, \frac{1}{2}\sum_{a \in A} a\right) &, \sum_{a \in A} a\mod 2 = 0 \\ \left(A, 1 + \sum_{a \in A} |a|\right) &, \text{else} \end{cases}$

ここで、はPARTITIONの入力セット、はSUBSET-SUMのインスタンスで、サブセットが加算された後に要求します。ここでは、近似がない場合に注意する必要があります。その場合、任意の実行不可能なインスタンスを与えます。（A 、k ）A k $A$$(A,k)$$A$$k$$k$

運動問題

問題最長パスを考える：有向グラフ所与、ノードのと整数、より単純なパスが存在するかどうかを決定するににおける少なくとも長さの。s 、t G k s t G $G$$s,t$$G$$k$$s$$t$$G$$k$

LONGEST-PATHがNPハードであることを示します。

HAMILTON-CYCLEは、有名なNP完全問題であり、LONGEST-PATHの特殊なケースです。任意のノードのためのにおける十分です。 特に、HAMILTON-PATHからの削減にはより多くの作業が必要になることに注意してください。$f(G) = (G,v,v,n)$$v$$G$

既知の近くの問題の活用

困難を感じる問題に直面したとき、すでに困難であることが証明されている同様の問題を検索しようとすることはしばしば良い考えです。または、問題が既知の問題に非常に類似していることがすぐにわかるかもしれません。

問題の例

問題を検討する

表示したいのは -completeです。私たちはすぐに、それがすでにわかっている問題、つまり充足可能性問題（SAT）に非常に近いことに注目します。$\mathsf{NP}$

のメンバーシップはです。証明書は2つの割り当てです。明らかに、代入が式を満たしているかどうかを多項式時間でチェックできます。$\mathsf{NP}$

$\mathsf{NP}$ -からの縮約に続く硬度。式与えられたら、新しい変数導入することでそれを修正します。式に新しい句を追加します。現在、が充足可能であれば、と両方で充足可能です。したがって、には少なくとも2つの条件を満たす割り当てがあります。一方、が充足可能でない場合、の値に関係なく、それは間違いなく充足可能にはなりません。φ V （V ∨ ¬ V ）φ V = $\text{SAT}$$\varphi$$v$$(v \vee \neg v)$$\varphi$$v = \perp$$v = \top$$\varphi$$\varphi$$v$

したがって、は -completeであり、これが表示したいものです。$\text{DOUBLE-SAT}$$\mathsf{NP}$

近くの問題を見つける

問題を減らすことは一種の芸術であり、経験と工夫がしばしば必要です。幸いなことに、多くの難しい問題がすでに知られています。Garey and JohnsonのComputers and Intractability：Guide to the NP-Completenessのガイドは、付録に多くの問題が記載されている古典的なものです。Google Scholarも友達です。

計算可能性では、チューリングマシンのセットを頻繁に調査します。つまり、オブジェクトは関数であり、ゲーデルの番号付けにアクセスできます。計算可能なままである限り、入力関数で必要なことをほとんど実行できるため、これは素晴らしいことです。

が決定可能でないことを示したいと仮定します。私たちの目標は、運命と同等になることです$L$

$\qquad \langle M \rangle \in K \iff \langle f_M \rangle \in L$

停止問題（または任意の他の決定不可能言語/問題）。$K = \{ \langle M \rangle \mid M(\langle M \rangle) \text{ halts} \}$

したがって、が常に計算可能になるように、計算可能なマッピングをがあります。これは、運命の等価性によって知らされる創造的な行為です。これがどのように機能するかのアイデアを得るためにいくつかの例を参照してください。$\langle M \rangle \mapsto \langle f_M \rangle$$f_M$

• 補数への削減のマッピング$A_{\mathrm{TM}}$
• これらの言語のいずれかを他の言語にマッピングすることは可能ですか？

同じことが、が半決定的でないことを縮小パートナーとして選択することにより、半決定的ではないことを示すために機能します、例えば：$L$$\overline{K}$

• 特定のチューリングマシンで受け入れられている言語の規則性は、半決定可能なプロパティですか？
• 計算可能な定数関数のセットは再帰的に列挙可能ですか？

1. これがゲーデルの番号付けの出番です。このマッピングの計算可能性は（通常）無料で取得できます。

それが関係する複雑さのクラスに依存し、1が与えられたから削減したいかどうかを不明に、または未知の与えに。一般的なシナリオは、NP HardまたはNP Completeの問題を証明することです。一般的な手法は、特定の方法で動作する「ガジェット」を1つのドメインに構築し、別のドメインの動作を模倣することです。この例では、次のスライドショーで例えばSAT、の節と同様に頂点被覆で頂点カバー、1つの構造「ガジェット」にその振る舞いをSATに変換するために：NP完全な削減を Krishnamoorthyによって（また、ハミルトンパスの例で）。B B $A$$B$$B$$A$

有用な戦略は、問題の複雑性クラスからの問題の大規模なコンパイルから作業し、研究中の問題に「見かけの最も近い問題」を見つけることです。これらの線に沿った優れた参考文献は、NP問題のガイドであるComputers and Intractabilityであり、GareyとJohnsonはさまざまな問題タイプ別にまとめられています。