数値積分とカウントルート

2つの異なる方法で表示できる問題があります。

を計算する $n$ 次元積分、数値コンテキスト。統合のドメインは $n$ 側面の三次元ハイパーキューブ $L$ 。
の根を数える（数えるだけ） $n$ 次元関数（多項式ではない）。

元の問題を解決するには、そのうちの1つを解決するだけで十分です。数値積分の単純なアルゴリズムには $O(L^n)$ 、次元ごとに線形時間を取る。しかし、（1）に対して漸近的に高速なアルゴリズムがあるかどうかはわかりません。

（2）については、根を見つけることができるアルゴリズム（ニュートンと二分法）を知っていますが、非多項式にある根の数を数えるだけの最良のアルゴリズムについてはわかりません $n$ 次元関数。

（2）に最適なアルゴリズムは何ですか？（1）の最速よりも優れていますか？

algorithms numerical-analysis counting

— Labotsirc
ソース

専門家ではありませんが、「ベスト」はおそらく特定の状況に依存します...

— Aryabhata 2013

関数の詳細は確かに役立ちます。因数分解できますか？変数をグループ化する置換を行いますか（そのように一部を省略します）？関数が消える超平面ではなく、孤立した根があることをどのようにして知っていますか？

— フォンブランド2013

@Aryabhataである可能性があります。とにかく、入力としての唯一のパラメーターは

n

$n$ （

L

$L$ 直線的に成長する

O (n)

$O(n)$ ）。

— labotsirc

@vonbrand：残念ながら、それを因数分解することはできません。代替の直観についてはノーと言いますが、この側面をより詳細にチェックします。根は分離されており、ドメインが連続していても、根は別々の場所に落ちます。ありがとう。

— labotsirc

求積法の計算にモンテカルロ法の使用を検討してください。正確な近似が必要ない場合や、ドメインの次元が大きい場合に適しています。

あなたは間違いなくより多くの詳細を提供するべきです。

— ヤン・ブレジナ
ソース

キューブ内のテンソル積直交点での関数の評価を表示すると、結果の数値ボックスがテンソルを形成します。このテンソルの下位の構造が低い場合は、新しいテンソルトレイン近似手法を使用して、テンソルを近似しながら、より少ない直交点でテンソルを評価できます。テンソルトレインでのIvan Osledetsの作業、特にテンソルのさまざまな行列化のスケルトンマトリックス分解に基づくTT-crossを参照してください。

http://www.mat.uniroma2.it/~tvmsscho/papers/Tyrtyshnikov5.pdf

— ニック・アルガー
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