チューリング削減によってNP硬度を示すことはできますか？

Ramírez-Alfonsínによる論文「フロベニウス問題の複雑さ」では、チューリング縮約を使用して問題がNP完全であることが証明されました。それは可能ですか？正確にどのように？これは、多項式時間の多倍数削減によってのみ可能だと思いました。これに関する参照はありますか？

NP硬度、さらにはNP完全性という2つの異なる概念がありますか？しかし、実際の観点から、私の問題がNP困難であることを示したい場合、私はどちらを使用するのですか？

彼らは次のように説明を始めました：

問題から減少チューリング多項式時間$P_1$ 別の問題に 解くアルゴリズムAで 「解決するための仮想的なサブルーチンAを使用して、 のための多項式時間アルゴリズムであったAが場合は、そのような」 次いでAは多項式であろう時間アルゴリズム 。 はチューリングを還元できると 言い ます。$P_2$$P_1$$P_2$$P_2$$P_1$$P_1$$P_2$

問題 は、NP完全決定問題 があり、 をチューリング還元してできる 場合、NP困難（チューリング）と呼ばれます。$P_1$$P_2$$P_2$$P_1$

そして、彼らはNP完全問題からのそのようなチューリング簡約を使用して、他の問題のNP完全性を示します。

NP硬度には（少なくとも）2つの異なる概念があります。Karpリダクションを使用する通常の概念は、NP Karpのすべての言語がLに還元される場合、言語はNP困難であると述べています。カープ削減をクック削減に変更すると、別の概念が得られます。Karp-NP-hardであるすべての言語はCook-NP-hardでもありますが、逆はおそらく誤りです。NPはcoNPとは異なると仮定し、お気に入りのNP完全言語Lを使用します。そして、Lの補数はCook-NP-hardですが、Karp-NP-hardではありません。$L$$L$$L$$L$

その理由クック-NP困難で次のようになります。すべての言語取るMを NPに。以来、Lは NP困難であり、polytime関数が存在するFようにX ∈ M IFF F （X ）∈ L IFF F （X ）∉ ¯ Lは。Aクック低減Mへ¯ LはかかるX計算し、F （X ）、チェックをするかどうか、F （X ）∈ $\overline{L}$$M$$L$$f$$x \in M$$f(x) \in L$$f(x) \notin \overline{L}$$M$$\overline{L}$$x$$f(x)$、およびその逆を出力します。$f(x) \in \overline{L}$

理由（仮定NPがCONP異なる）NP困難ではないが以下の通りです。仮定¯ Lが NP困難でした。次いで、すべての言語のためのM CONPにおいて、polytime減少あるFようにそのX ∈ ¯ M IFF F （X ）∈ ¯ L、換言すれば、X ∈ M IFF F （X ）∈ L。以来、Lは NP、このことを示しているMは NPであり、CONPよう$\overline{L}$$\overline{L}$$M$$f$$x \in \overline{M}$$f(x) \in \overline{L}$$x \in M$$f(x) \in L$$L$$M$$\subseteq$NP。これはすぐに意味そのNP CONP、およびNP = CONPそう。$\subseteq$

Cook-NP-hard言語がPにある場合、P = NP：NPの言語Mに対して、LへのCook縮約を使用して、Mのポリタイムアルゴリズムを提供します。その意味で、Cook-NP-complete言語は「NPで最も難しい」言語でもあります。クックの削減：一方、クック-NP-ハード=クック-CONP-ハードいることを確認することは容易であるLは、クックの削減に変換することができ¯ L。そのため、Cookリダクションを使用すると精度がいくらか失われます。$L$$M$$L$$M$$L$$\overline{L}$

Cookリダクションの使用にはおそらく他にも欠点がありますが、他の回答者にはそれを任せます。

それはいいです。多項式時間チューリング削減は、クック削減（クックレビンの定理のように）であり、NP完全問題を新しい問題に削減すると、NP硬さが得られます（多項式タイミーの多対数削減、別名カープ削減）。実際、カープの削減は、とにかく制限されたチューリング削減にすぎません。

（この質問に関して）それらが異なるのは、メンバーシップを示すことです。問題からNPの問題へのカープ削減は、最初の問題がNPにあることを示しています。同じ方向のクック削減はそうではありません。