通常の言語の単語の真ん中の規則性

してみましょう正規言語であること。 言語規則的ですか？L 2 = { Y ：∃ X 、Z S 。t 。| x | = | z | N 、D 、X 、Y 、Z ∈ L $L$
$L_2 = \{y : \exists x,z\ \ s.t.|x|=|z|\ and\ xyz \in L \}$

私はそれがここの質問と非常に似ていることを知っていますが、問題は、それが通常の言語の単語の単純な部分文字列ではなく、「正確な中間」であるということです。接頭辞と接尾辞の長さを数える必要があります。

したがって、それは規則的ではないと思いますが、それを証明する方法を見つけることができませんでした。を受け入れるようにのNFAを変更する方法も考えられません。L $L$$L_2$

ヒント： DFAを検討してください。すべてのについて、聞かせて状態の集合が存在するように、いくつかの長さの単語に初期状態からDFAをリード。LET状態の集合であるが存在するように、いくつかの長さの単語からDFAを導く受け入れる状態には。最後に、任意の2つの状態について、 DFAをから導く（通常の）単語のセットとします。我々は持っています N ≥ 0 AのN S N S B N T N T S 、T R S 、T S T L 2 = ⋃ N ≥ 0 ⋃ S ∈ A N T ∈ B N R 、S 、T。s 、$L$$n \geq 0$$A_n$$s$$n$$s$$B_n$$t$$n$$t$$s,t$$R_{s,t}$$s$$t$

LETためのDFAである。一般性を失うことなく、と仮定します。次のようにして ε-をします。$D = (Q, Σ, δ, q_0, F)$$L$$q_S, q_F \notin Q$$N = (Q ∪ \{q_S, q_F\}, Σ, Δ, q_S, \{q_F\})$$L_2$

各経路検索から任意に。そのようなパスそれぞれに対して、パスを for（つまり、パスのすべての「中間部分」を構成します）。これは効果的に行うことができます。これらすべてのパスを組み合わせてを構築します。$D$$q_0$$f ∈ F$$p_k: q_0 = q_{k,0} \xrightarrow{α_{k,1}} q_{k,1} \xrightarrow{α_{k,2}} … \xrightarrow{α_{k,i}} q_{k,i} \xrightarrow{α_{k,i+1}} … \xrightarrow{α_{k,n_k}} q_{k,n_k}$$p_k^{(i)} : q_{k,i} \xrightarrow{α_{k,i+1}} q_{k,i+1} \xrightarrow{α_{k,i+2}} … \xrightarrow{α_{k,n_k-i}} q_{k,n_k-i}$$0 \le i \le \frac{n_k}2$$Δ$

• $(q_S, ε, q_{k,i})$上記のすべての$i$
• $(q_{k, n_k-i}, ε, q_F)$上記のすべての$i$

$L(N)$は構造上規則的です。

あるという証明スケッチ：ます。構築により、は少なくとも上記のパスいずれかと一致する必要があることがわかります。このパスはそれぞれパスに属し、パスには追加のプレフィックスと長さサフィックスが含まれています。この接頭辞によって記述される単語としてを選択し、接尾辞によって記述される選択します。私たちは、それを見つけるして、。同様の推論により、各内のパスが見つかります。ましょうの長さと wは∈ L （N ）W P （I ） K D 、I 、X 、Y 、X 、W 、Y ∈ L | x | = | y | = I W ∈ L 2 N I X 、Y 、W 、P （I ） K K $L(N) = L_2$$w ∈ L(N)$$w$$p_k^{(i)}$$D$$i$$x$$y$$xwy ∈ L$$|x| = |y| = i$$w ∈ L_2$$N$$i$$x$$y$属する。、いくつかの形式。$w$$p_k^{(i)}$$k$$w$

したがって、です。$L(N) = L_2$