スターフリー言語と通常の言語

以来、私は、思っていた*は、星のない言語そのものであるスター自由言語ではない通常の言語がありますか？例を挙げていただけますか？$a^*$

（wikipdiaから）ローソンはスターフリー言語を次のように定義しています：

正規表現は、アルファベットの文字、空のセット記号、すべてのブール演算子（補完を含む）、および連結であるがクリーネスターではない正規表現で記述できる場合、スターフリーと呼ばれます。

これは$a^*$がスターフリーであることの証明です。

$\emptyset$星フリーで$\Longrightarrow$
$\Sigma^*=\bar{\emptyset}$星フリーです$\Longrightarrow$
場合は$A\subseteq\Sigma$その後、$\Sigma^*A\Sigma^*$スターフリーです$\Longrightarrow$
場合は$A\subseteq\Sigma$その後、$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$ですスターフリー

最後の行では、我々は持っている$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$フォームではない任意の単語ので、$A^*$の文字が含ま$\Sigma \setminus A$その逆と副を。

通常の言語は、弱いモナディック2次論理（WMSO）[1] で記述できる言語です。

スターフリー言語は、$<$（FO [<]）[2]を使用した1次論理で記述できる言語です。

2つのロジックは同等に強力ではありません。WMSOで定義できるがFO [<]で定義できない言語の1つの例は、（これは明らかに規則的です）です。これはEhrenfeucht-Fraisséゲーム usingを使用して表示できます。$(aa)^*$

1. Büchi（1960）による弱2次算術および有限オートマトン
2. McNaughtonとPapertによるカウンターフリーオートマトン（1971）

3. $(aa)^*$

   $\ \begin{align} \bigl[ \forall x. P_a(x)\bigr] \land \Bigl[ \exists x. P_a(x) \to \bigl[ \exists X. X(0) &\land [\forall x,y. X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to \lnot X(y)] \\ &\land [\forall x,y. \lnot X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to X(y)] \\ &\land [\forall x. \operatorname{last}(x) \to \lnot X(x)] \bigr] \Bigr] \;. \end{align}$

   $X$

4. こちらもご覧ください。

Schützenberger（1965）は、スターフリー言語の代数的特徴付けを行いました。通常の言語は、その構文モノイドが非周期的である場合に限り、スターフリーです。論理的特徴付け（スターフリー= FO [<]）とは異なり、この代数的特徴付けは、特定の正規言語がスターフリーであるかどうかを決定するアルゴリズムを提供します（正規言語は、有限オートマトン、正規表現、または通常の文法）。（マクノートンとペーパーによる）論理的特性を使用して、次の問題を決定できます。WMSO式が与えられた場合、同じ言語を記述するFO式があるか？

M.-P. Schützenberger、自明なサブグループのみを持つ有限モノイドについて、Information and Control 8（1965）、190-194。

R.〜McNaughton and S.〜Papert、Counter-free automata、The MIT Press、Cambridge、Mass.-London、1971。

シュッツェンバーガーの定理の完全な証明は、さまざまな教科書や調査報告書にあります。対応するアルゴリズム（証明なし）の基本的な説明については、以下を参照してください。

J.-É. ピン、有限セミグループおよび認識可能な言語：はじめに、NATO Advanced Study Institute Semigroups、Formal Languages and Groups、J。Fountain（編）、1-32、Kluwer学術出版社、（1995）。

スターフリー言語は、連結、補完、和集合、交差を含む正規表現で記述されますが、クリーネスターは含まれません。

通常の言語はこれらすべての操作（補完が重要なポイント）の下で閉じられるため、すべてのスターフリー言語も通常です。

多分あなたは逆を意味しますか？通常の言語はすべてスターフリーですか？後者に対する答えはノーです。詳細については、このペーパーを参照してください。

簡単な分離の例は（aa）*です。より洗練された：偶数（または奇数）のパリティを持つすべてのバイナリ文字列。