ランダムに均一に完全一致をサンプリングする

私はグラフがあるととの完璧なマッチングの（不明）セット。このセットが空でないと仮定すると、からランダムに均一にサンプリングするのはどれほど難しいでしょうか？均一に近いが完全に均一ではない分布で問題ない場合、効率的なアルゴリズムはありますか？$G$$M(G)$$G$$M(G)$

Jerrum and Sinclair（1989）の密なグラフからの完全一致のサンプリングに関する古典的な論文があります。Jerrum、Sinclair and Vigoda（2004; pdf）のもう1つの古典的な論文では、2部グラフからの完全一致のサンプリングについて説明しています。

これらの論文は両方とも急速に混合するマルコフ連鎖を使用しているため、サンプルはほぼ均一です。均一なサンプリングは難しいと思います。

グラフが平面であると仮定した場合、このサンプリング問題には多項式時間の手順があります。

最初に、完全な一致の数を数える問題は、平面グラフのPにあります。（https://en.wikipedia.org/wiki/FKT_algorithm）（この事実の説明は、JerrumのCounting、Sampling and Integratingに関する本の最初の章にあります。）

次に、各エッジについて、完全一致の数をカウントします。これは、均一な完全一致にが含まれる確率に変換できます。これは、の完全一致の数で割るだけです。この確率に従ってエッジをサンプリングし、帰納的に続行します。$e$$G$$G \setminus e$$e$$G$

（これは、マッチングが「自己還元可能な」構造であるという事実を利用しているため、カウント問題と均一サンプリング問題は本質的に同じです。詳細については、JVV「均一分布からの組み合わせ構造のランダム生成」視点。）

これが正しい分布を与えるという簡単な証明：

ましょグラフで順序付けられた完全マッチングの数表す順序付けられた配列などを、。（は、順序付けられていない完全一致の数の倍、です。）$c(H)$$H$$n!$$n = H/2$

ましょうこの手順で選択したエッジのシーケンスを。各ステップは前者から独立しているため、このエッジシーケンスを選択する確率は次のとおりです。$e_1, \ldots, e_n$

$\frac{ c(G \setminus e_1)}{c(G)} \frac{ c(G \setminus \{e_1, e_2\} )}{c(G \setminus e_1)} \ldots \frac{ c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) }{c(G \setminus \{ e_1, \ldots, e_{n-2} \} )}$。

であることに注意してくださいは単なるエッジ。したがって、この製品は望遠鏡でを残します。$c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) = 1$$G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}$$e_n$$1 / c(G)$