「到達可能オブジェクト」は本当にNP完全な問題ですか？

私はこの論文を読んでいて、著者が定理1を説明しているところ、「到達可能なオブジェクト」（論文で定義されている）はNP完全であると述べています。ただし、これらは、2P1N SATから到達可能オブジェクトへの1方向のみの削減を証明します。これは問題がNP困難であることを証明するだけです。NPの完全性を証明するために、逆方向（2P1Nから到達可能オブジェクト）を証明する必要はありませんか？

問題$P$は、次の場合にNP完全です。

1. $P$はNPハードであり、
2. $P \in \textbf{NP}$。

著者は、項目番号1の証拠を提示します。項目番号2はおそらく明らかです（そして、論文の読者には明らかであるはずです）。項目番号1の証明には、NP完全な問題（SATなど）から$P$への（多数の）削減のみが必要です。反対方向に縮小を構築する必要はありません。

著者らは、問題がNPにあることを示すのは簡単だと主張している。この主張を証明するには、状態に到達する一連のスワップを、状態が到達可能であることの証人として考えます。このような多項式サイズのシーケンスが与えられると、スワップを実行することにより、状態が実際に到達可能であることを多項式時間で検証できます。

$n$$n$$n^2$

厳密でない設定があった場合、一部のアイテムが特定の状態に到達するために長いサイクルにわたって移動する必要がある可能性があると思います。特に、すべてのスワップのシーケンスが指数関数的なサイズを持つ状態が存在する可能性があります。しかし、そのような問題の直接の例は思いつきません。少なくとも、厳格でない選好の問題がNPにあることを示すことは、もはや「簡単」ではありません。