「二重に」算術的な進行を検出するのは3SUM難しいですか？

これはインタビューの質問に触発されたものです。

我々は、整数の配列を与えられていると異なるがあるかどうかを決定する必要がように $a_1, \dots, a_n$ $i \lt j \lt k$

$a_k - a_j = a_j - a_i$
$k - j = j - i$

すなわち、シーケンスおよびは両方とも算術級数です。 $\{a_i, a_j, a_k\}$ $\{i,j,k\}$

これには簡単なアルゴリズムがありますが、次アルゴリズムを見つけるのはわかりにくいようです。 $O(n^2)$

これは既知の問題ですか？これの3SUM硬さを証明できますか？（または、サブ2次アルゴリズムを提供しますか？）

必要に応じて、想定できますそのいくつかの既知の定数の。（インタビューの問題では、）。 $0 \lt a_1 \lt a_2 \lt ... \lt a_n$ $a_{r+1} - a_{r} \le K$ $K > 2$ $K = 9$

algorithms complexity-theory lower-bounds

— クヌース
ソース

これは未解決の問題です。

Mihai PătrașcuのSTOC 2010論文「動的問題の多項式下限に向けて」の結果を適用することで、おそらく3SUM硬さの弱い形式を証明できます。最初に、密接に関連する問題のシーケンスを定義します。各問題への入力は、異なる整数のソートされた配列。 $A[1..n]$

3SUM：ような個別のインデックスはありますか？ $i,j,k$ $A[i] + A[j] = A[k]$
Convolution3SUM：ようなインデックスはありますか？ $i<j$ $A[i] + A[j] = A[i+j]$
平均：ような個別のインデックスはありますか？ $i,j,k$ $A[i] + A[j] = 2 A[k]$
ConvolutionAverage：ようなインデックスはありますか？（これはあなたが尋ねている問題です。） $i<j$ $A[i] + A[j] = 2A[(i+j)/2]$

私の博士論文では、私はこれらの問題のすべての4つが必要であることを証明しただけできるフォーム「の照会計算の決定木モデルの時間が正、負、またはゼロ？」、ここで、は実数（入力に依存しない）です。特に、このモデルの3SUMアルゴリズムは「 $\Omega(n^2)$ $\alpha A[i] + \beta A[j] + \gamma A[k] + \delta$ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ より大きい、小さい、または等しい「少なくとも？回の下限は、計算のより一般的なモデルでsubquadraticアルゴリズムを除外しないことを- 。実際、それはさまざまな整数RAMモデルでいくつかのログファクターを削減することが可能ですが、どのような種類のより一般的なモデルがより大きな助けになるかは誰も知りません。 $A[i] + A[j]$ $A[k]$ $\Omega(n^2)$

注意深いハッシュ化を使用して、Pǎtraşcuは3SUMが必要な場合ことを証明時間を予想、任意の機能のために、次いでConvolution3SUMは必要予想時間。したがって、Convolution3SUMは「弱い3SUMハード」と言うのが妥当です。Convolution3SUMはで解決することができる場合、例えば、時間、次いで3SUMはで解決することができる $\Omega(n^2/f(n))$ $f$ $\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$ $O(n^{1.8})$ 時間。 $O(n^{1.9})$

詳細については説明していませんが、並列引数は、平均が予測時間を必要とする場合、関数 ConvolutionAverageが予定時間。言い換えると、ConvolutionAverageは「弱平均ハード」です。 $\Omega(n^2/f(n))$ $f$ $\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$

$\Omega(n^2)$ $\Omega(n^2)$

$K$ $O(n \log n)$

$B[0..Kn]$ $B[i]=1$ $A[1]+i$ $A$ $B$ $O(Kn\log Kn) = O(n\log n)$ $j$ $A$ $2A[1] + j$ $A[i]+A[j]$ $O(n)$ $O(n)$

しかし、Convolution3SUMまたはConvolutionAverageの同様のトリックは知りません！

— ジェフ
ソース