青い頂点よりも赤い頂点の多いパスを見つけることはNP困難ですか？

接続された有向グラフを考える $G=(V,E)$、頂点 $s,t \in V$ と着色、セント $s$ そして $t$は黒で、他のすべての頂点は赤または青のいずれかです。$s$ に $t$ 多項式時間で青の頂点よりも赤が多い？

それは可能だと思いますが、私たちのTAはこれはNP難しいと述べました。

解決策のアイデア：

から $G$ つくる $G'=(V',E')$ 次のように：

• すべてを分割 $v \in V\setminus \{s,t\}$ 2つの頂点 $v_{in}$ そして $v_{out}$。 $V'$ 分割された頂点ペアで構成され、 $s$ そして $t$。

• すべてのために $e=(u,v) \in E$ エッジを導入する $(u_{out},v_{in})$。（エッジ用$(x,v)$ または $(u,x)$ どこ $x \in \{s,t\}$ エッジを作成する $(x,v_{in})$ または $(u_{out},x)$それぞれ）。また、エッジを導入$(v_{in},v_{out})$分割された頂点のいずれか。そう$E'$ 2種類のエッジが含まれています：からのエッジに対応するもの $E$ からの頂点に対応するもの $V$。

ここで、次のように重みを導入します。

• $w((v_{in},v_{out})) = -1$ 対応する頂点 $v$た赤。
• $w((v_{in},v_{out})) = +1$ 対応する頂点 $v$だったブルー。
• $w(e) = 0$ 他のすべてのエッジ、つまりエッジに対応するエッジ $G$ 頂点ではなく。

ここで、ダイクストラ、ベルマンフォードなど、選択した最短パスのアルゴリズムを実行し、指定されたパスの長さが $<0$ これで完了です。

なぜこれが機能しないのですか？それは私たちに負のサイクルがあるかもしれないからですか？Bellman Fordでそれらを検出することはできますが、この決定問題をNP困難にする非効率的な手段で目的のパスを見つける必要がありますか？NP硬度を示すエレガントな削減はありますか？

DijkstraとBellman-Fordは「単純なパス」機能を解釈できないため、ソリューションは機能しません。そして、彼らは確かにどんな負のサイクルにも落ちるでしょう。

NP完全性を示すのに最適なのは、ハミルトニアンパス問題を使用することです。グラフを見てみましょう$G'$ の $N$ 赤い頂点。

次に、グラフを作成します $G$、追加 $s$、 $t$ そして $N-1$ 青い頂点 $G'$。最初に、ソースから最後の青の頂点まですべての青の頂点をエッジでチェーンします（$s$->$b_1$->$b_2$-> ...->$b_{N-1}$）。次に、からエッジを入れます$b_{N-1}$ すべての赤い頂点とすべての赤い頂点のエッジに $t$。

から単一のパス $s$ に $t$ すべての青いノードを必然的に通過します（$N-1$）そして、すべての赤いノードに渡す必要があります（$N$）に答える

簡単な道はありますか $G$ から $s$ に $t$ 青い頂点よりも赤い？

したがって、これに対する答えのようなものです：

ハミルトニアンの道はありますか $G'$

だからあなたの問題は確かにNP完全です。