サブセット合計要件

次の問題を考えてください。

セットを考える $S$ 整数の、関数 $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ そして $k \in \mathbb{Z}$、あるかどうかを決定 $X \subseteq S$ そのような $f\left(\sum_{x\in X}x\right)=k$。

これはまだサブセット合計問題と見なされますか？

たとえば、

$\qquad \displaystyle S=\{ −7, −3, −2, 5, 8\}$

そして $k=0$、サブセットを見つける $X$ そのような $f\left(\sum_{x\in X}x\right)=0$ ために $f(y)=-3+y$。この場合、解決策は$X=\{ -3,-2,8 \}$。

それはの形に依存します $f$。もし$f(x) = x$、その後、subset-sumと同じです。もし$f(x) = 0$、それはとのささいな問題です $O(1)$ 解決策：戻る $true$。あなたはおそらく定義することができます$f$ 同様に、質問を多かれ少なかれ難しくする他の方法で。

以下のさまざまな選択肢に対応するミニ複雑な動物園をご覧ください $f$：

• ために $f(x) = c$、 問題は $O(1)$（true iffを返す$c = 0$）。
• ために $f(x) = 0$ ために $x \geq 0$ そして $f(x) = 1$ そうでなければ、問題は $O(n)$（0より大きい任意の数値の線形検索）
• ために $f(x) = 0$ ために $x \geq c$、 $c > 0$、 $f(x) = 1$ そうでなければ、問題は $O(n \log n$）（セット内の項目を降順で並べ替え、接頭辞が合計して実用的なソリューションになるかどうかを確認します）
• ために $f(x) = ax + b$、問題はサブセットサムと同じくらい難しいです（非公式な意味で、サブセットサムからこれへの削減を実証するための構造は提供していません...これについて間違っている場合は、私に知らせてください！）
• ために $f(x) = 0$ によってエンコードされたチューリングマシン $x$のバイナリ表現が与えられると、のバイナリ表現は停止します $x$ 入力として（または、空のテープが入力として与えられた場合、同様の種類の停止問題）、および $f(x) = 1$それ以外の場合、問題は特定できません（この問題の解決策$f$停止問題を解決できます）

誰か他に楽しいものを見ますか？

状況によっては、任意の難しい問題が発生する可能性があります $f$。

しましょう $A$言語であること。定義する$f$ 次のように：

セットを検討 $S=\{x\}$。空ではないサブセットがあります$X\subseteq S$ st $f(\Sigma_{x\in X} x) = 0$ iff $x \in A$。

複雑さの要件を課すことなく $f$ あなたは任意の困難の問題を得ることができます。

興味深いケースは、 $f$複雑さが制限されている、たとえば多項式時間計算可能。その場合、それを使用して反転することができます$f$、したがって、問題は任意の多項式時間関数を反転するのと同じくらい難しい場合があります（そして、指数以下の時間で反転するのが難しい多項式時間計算可能な疑似乱数ジェネレータがあると仮定すると、問題を解決できないことを意味します）：let $g$任意の多項式時間計算可能関数です。私たちは与えられていると仮定します$y\in Range(g)$ そして、私たちは見つけたいです $x$ st $g(x)=y$。定義する$f(x)=g(x)$。しましょう$S= \{0,1,2,4,8,\ldots, 2^m\}$ 適切な大きな $m$ （のプレイメージを確認するために $y$セット内の数値の合計として表すことができます）。各セットで番号を削除します$2^i$ セットから、まだサブセットがあるかどうかを確認します $X$ st $f(\Sigma_{x\in X} x)=y$。答えが「はい」の場合、その番号を必要としないソリューションがあることがわかっているため、その番号から削除します$S$永久に。答えが「いいえ」の場合、すべてのソリューションでその数が必要であることがわかります。後$m$ セットになるステップ $S$ これはソリューションであり、そのサブセットはソリューションではないので、 $x=\Sigma_{x \in S} x$ 私たちの答えとして。

一方、 $f$ 多項式時間計算可能であり、問​​題は $\mathsf{NP}$。

関数が特別な場合 $f$ 線形なので、 $\Sigma$ 線形関数で通勤する、問題はサブセット合計を解くことと同じです $f(S) = \{ f(x) \mid x \in S\}$。線形関数が一定でない限り、問題は部分和と同じくらい難しいでしょう。$\mathsf{NP\text{-}hard}$ （サブセット合計インスタンスを解決したい場合 $(S,k)$、適用する $f^{-1}$ のメンバーに $S$ 入手する $S'$ そして、修正されたバージョンを使用します $(S',k)$ それを解決するために）。

（このトリックは、関数がより一般的なケースでも機能します $f$ 多項式時間計算可能であり、逆も多項式時間計算可能です。）

はい、これはまだサブセット合計問題ですが、合計が$0$、あなたは他のものに等しい合計を持っている必要があります（あなたの例ではそれ3、一般的にそれはです $f^{-1}(0)$、これは以下の場合は一連の数値になる可能性があります $f$あるものに多く）。

これは全単射の問題の難しさをあまり変えません $f$、ただしそれ以外はプリイメージの数に依存 $f^{-1}(0)$持っています。すでに述べたように、$f(y)=0$、問題はささいなことになります。