回路サイズをチューリングマシンの実行時間に関連付ける方法

http://rjlipton.wordpress.com/2009/05/27/arithmetic-hierarchy-and-pnp/から、

定義、 $M_{[x,c]}$ 入力に対して次のように動作する確定的チューリングマシンとして $y$。マシンが扱う$x$ 確定的プログラムとして、そしてシミュレート $x$ 入力時 $y$。同時に、マシンはステップの実行を停止するカウンターを実行します$|y|^c$。マシンがカウンターが停止する前に受け入れる場合は、受け入れます。それ以外の場合は拒否されます。

しましょう $f(i,c)$ 最小の自然数になるように $M_{[i,c]}$入力を間違える $y$。次に、$P \neq NP$ true、関数 $f(i,c)$ 常に定義されます。

定理：無限の数があると仮定します $i$ 存在する $c$ そのため

$$f(i,c) > 2^{2^{|i|+c}}$$ 次に、無限に多くの $n$、SATには回路サイズがあります $n^{O(\log n)}$。

証明：しましょう $i>1$ そして $c$ そうなる

$$f(i,c) > 2^{2^{|i|+c}}$$ 定義する $n = 2^{|i|+c-1}$。ご了承ください$c$ せいぜい $\log n$。そして、 $M_{[i,c]}$ すべての上 $y$ 長さの $n$ 正しいので、 $y \leq 2^n = 2^{2^{|i|+c-1}} < f(i,c)$。長さの入力でこのチューリング機械をシミュレートする回路のサイズ$n$ は多項式です $|i|$、 $n$、およびマシンの実行時間。マシンは、定義により、時間通りに実行されます$|y|^c \leq n^c \leq n^{\log n}$

私はこの部分を取得していません。誰もがこれを説明できますか（指定するには、「長さの入力でこのチューリングマシンをシミュレートする回路のサイズ$n$ は多項式です $|i|$、 $n$、およびマシンの稼働時間」を引用））？（つまり、問題は、チューリングマシンの実行時間を回路のサイズにどのように関連付けることができるかです。）

回路がTMと同等であることを示す方法は次のとおりです。TMの場合は、バイナリでエンコードします（状態、遷移など）。

次に、TMの各構成間の遷移をゲートが表す回路を構築します。構成遷移はローカルであるため、ローカルゲート（つまり、一定数の入力に依存するゲート）のみが必要です。

アイデアは、構成を計算できるということです $c_i$ 構成から $c_{i-1}$隣接する3つのセルの内容を調べ、マシンのヘッドがある場合は、それに応じて更新します。形式的に書くことはかなり技術的ですが、それは一般的に単純な証明です（証明については、AroraとBarakによる「計算の複雑さ」を参照してください）。

この証明を使用すると、回路は「レベル」で構成され、各レベルがTMの構成に対応するため、回路のサイズはマシンの実行時間と入力長で多項式であることがわかります。