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セイ、$L \subseteq \{0\}^*$。それでは、$L^*$が規則的であることをどのように証明できますか？

$L$が規則的であれば、もちろん$L^*$も規則的です。場合は$L$有限である、定期的にして再度ある$L^*$規則的です。また、私はために、ということに気づいた$L = \{0^p \mid p \text{ is a prime}\}$、$L$定期的ではない、$L \subseteq \{0\}^*$および$L^*$規則的です。

しかし、{ 0 } ∗のサブセットに対してこれをどのように表示するのでしょうか？$L$$\{0\}^*$

いま、二つの単語含まW 1及びW 2例えば、これらの単語の長さのことを| w 1 | と| w 2 | 、共通の要素はありません。次に、これらの単語を連結して形成できない最も長い単語の長さ（| w 1 | − 1 ）（| w 2 | − 1 ）− 1（フロベニウス数$L$$w_1$$w_2$$|w_1|$$|w_2|$$(|w_1|-1)(|w_2|-1) - 1$）。つまり、言語に長さが共通因子を持たない単語がある場合、特定の最小長のすべての単語は言語ます。必然的に、Myhill-Nerodeの識別不能な関係の下に有限数の等価クラスがあるため、これが規則的であるのは簡単です。$L^*$

のすべての単語の長さが共通の要因を共有している場合はどうなりますか？さて、そのような場合、L ∗も規則的であることを確認するのは難しくありません。単純に、長さがL ∗にある最小の長さよりも長いすべての単語の代わりに、長さが単語の長さのGCDの倍数であるすべての単語がL ∗にあり、長さがは、このGCDの倍数ではなく、（L k ）∗は任意の整数kに対して正規であるため、L ∗も正規です。$L$$L^*$$L^*$$L^*$$(L^k)^*$$k$$L^*$

これはかなり非公式ですが、これを形式化するために必要なものはすべてここにあるはずです。

基本的な考え方は、1文字のアルファベットで構築された言語では、十分に長い単語はすべて短い単語の連結であるということです。ですから、言葉取るときでL *、すなわち内の単語の連結L、コアがある˚ Lというように、wは内の単語を連結したものです˚ Lは。したがって、L * = ˚ L *。これは、ことが判明˚ Lは、それゆえにと、有限であるL *規則的です。$w$$L^*$$L$$\mathring{L}$$w$$\mathring{L}$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$$L^*$

してみましょうのサブセットであるLとWのワードL。W内の単語の連結として表現することができるLの IFF | w | 要素の和として表すことができるS ⊂ N Sは、の単語の長さの集合であるM。することができます。このような問題は、（許容反復で）特定のセットの整数の和として整数を発現まで減少します| w | k 1 s 1 + … + k m sとして表される$M$$L$$w$$L$$w$$L$$|w|$$S \subset \mathbb{N}$$S$$M$$|w|$と ∀ I 、sはI ∈ S及び K 1 ∈ Nは？$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, s_i \in S$$k_1 \in \mathbb{N}$

これは、算術ではよく知られている問題であり、答えが係数があればということである陰性であることができる（kはI ∈ Z）、| w | S：gcd Sの要素の最大公約数の倍数である場合、それは表現可能です。非負の係数が必要なため、これは依然として十分に大きい| w | 。$(k_i)$$k_i \in \mathbb{Z}$$|w|$$S$$\gcd S$$|w|$

無限配列検討によって定義されるG iは = GCD （Sを∩ [ 0 、I ] ）。これは、整数の減少シーケンスです（g min S = min Sで始まるため、特定のインデックスjの後は一定です; g j = gcd S。中国の剰余定理により、Sのすべての要素はk 1として表現できますs $(g_i)_{i\ge\min S}$$g_i = \gcd (S \cap [0,i])$$g_{\min S} = \min S$$j$$g_j = \gcd S$$S$と ∀ I 、kはI ∈ Zと { S 1、... 、S M } = S ∪ [ 0 、J ]。もし X ∈ Sと X ≥ sの1 ⋅ ... ⋅ S 、M、あなたはすべての非負の係数を選ぶことができます。$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, k_i \in \mathbb{Z}$$\{s_1, \ldots, s_m\} = S \cup [0,j]$$x \in S$$x \ge s_1 \cdot \ldots \cdot s_m$

十分な算術。してみましょう。内のすべての単語Lは、内の単語の連結として表現することができるL、長さが最大であるグラムのJ、すなわちL ⊆ ˚ L *。我々はまた、持っているので˚ L ⊆ Lを、我々はL * = ˚ L *以来規則的で、˚ Lは有限ので、定期的にですが。$\mathring{L} = \{w \in L \mid |w| \le g_j\}$$L$$L$$g_j$$L \subseteq \mathring{L}^*$$\mathring{L} \subseteq L$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$

または、1文字のアルファベットで通常の言語の特徴付けを使用します。