ベジェサーフェスに歪みを適用する

Adobe Photoshopで使用されている画像ワープ効果をシミュレートしようとしています。

長方形の画像は、3次ベジエ曲面に従って歪められます（2Dでは、すべてのZ成分は0です）。ベジエ曲面があれば、垂直歪み をそれに適用できます。$d \in[0,1]$

左：入力ベジェサーフェス、、右：出力サーフェス、 $d=0$$d=0.8$

左側のバージョンから右側の出力に変換するときに、ベジェサーフェス（16ポイント）に対して何が行われますか？

編集：新しい画像と説明に従って回答を変更しました。

for every control point p(k, n)
   p'(k, n) = ( p(k, n) - p(k) ) * d * l(k) + p(k, n)

ここkで、は行インデックスで、nは制御点の列インデックスです。l高度係数であり、{-1、-1/3、1/3、1}と等しい。p(k)k番目の行の中心です。

根拠：

新しい画像から、赤と青の線が線の中心（基本的に（k、0）であるp（k））からその点まで描画されます。最初の線では、グラフ上のもの（赤い線）を含むすべての制御点が、その線上の同じ点に移動します。p（k、n）-p（k）は、ポイントをp（k）からp（k、n）に移動するベクトルを提供します。これは、他の方法に適用する必要があり、ポイントを目的の位置に移動します。グラフでは、d = 1なので、最初の線のすべての点が中心に移動します。これを確認するために方程式を簡単に解くことができます。d * l(0)は-1なので-p(k, n) + p(k) + p(k, n)、p（k）を与えるのはどちらかです。

2番目の線では、青い線が点から中心に向かっていますが、今回は到達する前に停止しました。それが本当に1/3からカットされているかどうかはわかりませんが、それは良い出発点になるでしょう。したがって、同じ式が適用されます。lは-1/3 dは1なので、ポイントは1/3の方法で移動します。3番目は2番目と同じですが、外側に移動するため、lは1/3になります。

最後の線では、すべての制御点がその線の中心点から移動します。あなたの線がその中心で集まるので、これは非常に明確です。

この式で発生する可能性のある唯一の問題は、1/3の仮定ですが、それが失敗する理由はわかりません。

注：インデックス付けには行、列を使用したため、x、yを使用している場合は、それらの位置を切り替える必要があります。