テクスチャを双曲線三角形にマッピングする

私はしばらくこれに取り組む方法にこだわっていますので、どんな提案もありがたいです！

右下のユークリッド三角形の形のテクスチャをポアンカレ円盤の双曲線三角形にマッピングしたい。

これがテクスチャです（テクスチャの左上の三角形は透明で未使用です）。エッシャーのサークルリミットIの一部としてこれを認識するかもしれません

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そして、これは私のポリゴンのように見えます（これは原点を中心としています。つまり、2つのエッジは直線ですが、一般に3つのエッジはすべて円弧になります）。

ポリゴンの中心は、頂点によって形成されるユークリッド三角形の中心であり、その中心を使用してテクスチャをUVマッピングして、ポリゴンと同じ数の面に分割し、各面を対応するポリゴン面にマッピングしています。ただし、結果は次のようになります。

これがUVマッピングを使用して解決可能であると誰かが思うなら、私はいくつかのサンプルコードを提供できれば幸いですが、これは不可能かもしれないと私は考え始めており、独自のマッピング関数を作成する必要があります。

線分AB、AC、BCは実際には線分ではなく円弧である可能性があるため、@ Nathanの回答を以下のように改善しました。

方法：最長の辺（BCなど）を選び、これを偶数の部分に分割します。他の2つの辺を同じ数のパーツに分割します。次に、これらを接続する線（以下の回答のDE）も、直線ではなく、実際には円弧でなければなりません。必要に応じてこれらの新しい弧を細分割し、新しい三角形を面として追加してから、テクスチャの右下の三角形をこれらの新しい面にUVマップします。

簡単？どういたしまして。しかし、うまくいきました。

テクスチャが正しく見えるようにするには、三角形の内部も細分割し、その内部の非線形UVマッピングを近似する必要があると思います。

現在、三角形のエッジを中心に細分割し、エッジとインセンターの間に小さな三角形の扇形を形成しているようです。三角形を単色でレンダリングしている場合は、これで問題ありません。ただし、テクスチャを適用すると、サブディビジョンの境界で不連続性が生じます。これは、テクスチャが細分割された各三角形を横切って直線的に伸びるだけで、半径方向に沿った双曲線マッピングが正しく近似されないためです。

次のように、両方の軸に沿って細分割する必要があります。

そして、すべての頂点をスクリーンスペースとUVスペースに適切に配置して、三角形の内部の双曲線座標を近似します。細かく分割すると、テクスチャマッピングが連続的に湾曲しているように見えます。