地球の地平線の形状の公式の信頼できるソースが必要

私が求めているもの

私は式を求めていないことを強調します---私は式を知っており、それをどのように導き出すか。いくつかの異なるバージョンが投稿の終わり近くに再現されています。実際、他の誰かが同様に派生させただけでなく、ここで派生物の1つをうまく提示しました。

私が必要とするのは、公式の信頼できるソースです。たとえば、元の研究を報告することの禁止に違反することなくウィキペディアに載せることができます。[人々は実際に試してみました ...しかし、関連記事には非常に良心的な編集者がいて、元の研究であるという理由でこのセクションを削除しました...戦うために。]

Computer Graphics StackExchangeに投稿する理由

ここの誰かが地球が軌道からどのように見えるかをモデル化したかもしれないので、おそらく彼または彼女は、この式（または、より一般的には、その一般化）が本、ジャーナル、会議議事録、またはクラスノートで公開されているかどうかを知っているかもしれませんなど

「グーグルによる」をやった

私に代わって答えを探しに行くように頼んでいるわけではないことを理解してください。私はすでに多くのグーグルを行っていますが、最後の手段としてここに投稿するだけです。私の（とてつもない）希望は、ここの誰かがすぐに参照を知っていることです。ない場合は...よく、私は（私はに興味がある人に話している完全な意識を持って、ので、自分自身を言うならば、少なくともあなたは以下のきれいな絵を楽しんで願って、コンピュータグラフィックス、あなたが大きく、より良い上へ移動する前に、すべての物事の）物事。

近づく2つのソース

1. DKリンチ、「地球の湾曲を視覚的に識別する」Applied Optics vol。47、H39（2008）。ここから無料で入手できます。残念ながら、正しい方法で行うのではなく（それほど難しくはありません）、著者はハックを選択しました。（a）私は完全に理解しておらず、（b）私が知っていることに同意しません正しい式。

2. R. Hartley and A. Zisserman、コンピュータービジョンのマルチビュージオメトリ、第2版 （Cambridge University Press、Cambridge UK、2004）。秒で 8.3、「2次での射影カメラの動作」を読みました。

二次曲線が球体である場合、カメラの中心と二次曲線の間の光線の円錐は右円、つまり輪郭生成器は円であり、円の平面はカメラと球の中心を結ぶ線に直交します。これは、この線に関するジオメトリの回転対称性から見ることができます。球体の画像は、円錐を画像平面と交差させることにより取得されます。これが古典的な円錐曲線であることは明らかであるため、球体の見かけの輪郭は円錐曲線になります。

原則として、ほんの少しだけ多くの情報が含まれていれば、これはまさに必要なものです---少なくとも、球体までの距離と球体半径の関数としての円錐の離心率の表現画像平面が ピンホールカメラが地平線上の点に向けられている円錐の母線にである場合）。

学術的な参照が必要な式の詳細

大気のない完全に球形で完全に滑らかな地球を想定しています。理想的なピンホールカメラを水平線に向け、単純な中央投影を使用して、カメラの背面にある水平線の画像の形状（つまり、フィルム上での形状--- "フィルムプレーン"）を計算します。 。これを明確にするグラフィック（興味のある人のためにAsymptoteで作成）を次に示します。

上で見たように、地平線の画像は円錐断面の一部です。してみましょう円錐の偏心なります。導出Iは、上記の代わりに、パラメータの使用K：ちょうど逆偏心であり、K = 1 / εを。偏心自体はε = 1 / √として与えられます$\varepsilon$$k$$k=1/\varepsilon$、ここでϵ=h/Rは、地球の表面上のピンホールの高度hと地球の半径Rの比です。【代わりに使用するεの比である、高度にRを、使用することが有用であり得るηの比率地球の中心にピンホールの距離、H+R：地球の半径、η=（R+Hを）/R=$\varepsilon=1/\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)}$$\epsilon=h/R$$h$$R$$\epsilon$$R$$\eta$$h+R$。ηに関しては、 ε = 1 / $\eta=(R+h)/R=1+\epsilon$$\eta$ ]。$\varepsilon=1/\sqrt{\eta^{2}-1}$

ピンホール（図の点）からフィルムプレーンまでの距離は、1単位の長さと見なされます。$P$

フィルムプレーンの軸は、地球の中心C（画像には表示されていません）とカメラがトレーニングされる水平線上のポイント（画像にVのラベルが付いている）を結ぶ線に平行になるように選択されます。線C Vはフィルム面に平行でなければならないため、この選択は明確です。これは、C Vとフィルム面の両方が視線P V（PとVを結ぶ線）に垂直であるためです。そしてそれは、 1行からであるP Vがで地球に接するV、したがって垂直に$y$$C$$V$$CV$$CV$$PV$$P$$V$$PV$$V$、および2 P Vはカメラで訓練されているため、膜面に対して垂直である V。もちろん、 x軸は y軸に垂直で、フィルム平面にあり、原点は点 Vの投影として選択されます。$CV$$PV$$V$$x$$y$$V$

これらの定義が邪魔にならないので、地球の地平線のイメージである円錐断面の表現を書き留める準備ができています。これはさまざまな方法で記述できますが、そのいくつかを以下に示します。必要なのは、これらの式のいずれか、またはそれらに相当する式の信頼できる参照です。

1.上記の導出で与えられた明示的な式

導出Iは、上記の最終版としてこれを提供します：

$[\,y\,(1/\varepsilon-\varepsilon)-1\,]^{2}+x^{2}(1/\varepsilon^{2}-1)=1.$

これをいくつかの追加の方法で表現しましょう。

2.円錐曲線の正準方程式による表現

この場合、方程式は次の形式を取ります。

、$x^2=2\mu y-(1-\varepsilon^{2}) y^2$

ここで、ここでは、です。$\mu=\varepsilon$

正規形の利点は、特に放物線の場合、を含む、すべての円錐曲線を等しい足場で処理できることです。「標準」定式化（以下を参照）では、放物線の場合は、制限ε → 1を取ることによってのみ対処できます$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$ます。

詳細：上記の式は、側面の角度なす直円錐の場合に成り立つ距離で---交差され、Dの角度で平面によって---円錐の頂点からω相対コーン軸に。（明確にするために：dは円錐頂点から円錐頂点に最も近い楕円上の点までの距離です。その点は常に楕円の長軸の端の1つです）。この一般的なケースでは、偏心は、以下のように与えられるε = COS ω / COS θながら、μ = D （ε - COS $2\theta$$d$$\omega$$d$$\varepsilon=\cos \omega/\cos \theta$。$\mu=d(\varepsilon-\cos|\omega+\theta|)$

上記の図に関して、はPからフィルムプレーンまでの距離（つまり、赤い点線に沿った距離）です。θは赤い点線と円錐の軸（Pと地球の中心を結ぶ線- グラフィックでhとラベル付けされた黒い線の延長線）の間の角度です。角度ωは、円錐の軸とフィルム面の間の角度です。$d$$P$$\theta$$P$$h$$\omega$

フィルム面が赤い点線に垂直であるとすると、ます。さらに、d = 1を取ります。これにより、μ = $\omega+\theta=\pi/2$$d=1$$\mu=\varepsilon$ます。

3.円錐曲線の「標準形」に関する表現

この形式はおそらく最もよく知られています：

$\frac{(x-x_{0})^{2}}{p^2}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{q^2}=1$

次のように、標準方程式（上記2.を参照）に入るパラメーターに関連しています。

$x_{0}=0$

$y_{0}=q=\frac{\mu}{1-\varepsilon^{2}}$$\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}$$y_{0}=q$

$p=q\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}=\frac{\mu}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$$\frac{\varepsilon}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$私たちの場合には）。

$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$。

4.パラメトリック曲線による表現

$x=\frac{(\epsilon+1) \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\epsilon(\epsilon+2)}$

$y=\frac{\sqrt{\epsilon (\epsilon+2)} (\sin (\alpha )-1)}{\sin (\alpha )+\epsilon (\epsilon+2)},$

$\alpha$$\alpha=\pi/2$$V$

1は、これらの式を使用する方法については、これを。

結論として...

おそらく、地球が宇宙からどのように見えるかをモデル化するという文脈で、信頼できるソースで上記の式を見たことがありますか？もしそうなら、このソースが何であるかを教えてもらえますか？

ありがとう！

探している曲線は、平面（カメラの背面）と右側の円錐の交点です。これは、地球に関する問題でも、宇宙からの惑星の眺めでもありません。単純で単純な3D座標ジオメトリです。参照を見つけるには、「平面と円錐の交差」、「円錐の平面セクション」、または「二次の平面セクション」などを検索することをお勧めします。

3D座標ジオメトリの標準テキストに関連する数式（および派生）が見つかると期待しています。可能性のある場所は次のとおりです。

• サーモン-3次元の分析幾何学に関する論文
• サマヴィル-3次元の分析幾何学
• Snyder and Sisam-空間の分析幾何学

これらはすべてかなり古い本であり、それらを見つけるのに苦労するかもしれません。

Math.StackExchangeで質問することもできます。

派生物を「オリジナルの研究」と呼ぶのはばかげているように思えます。これは、分析幾何学における高校の宿題の問題です。