相関サンプルは、モンテカルロレンダラーの動作にどのように影響しますか？

パストレースや双方向パストレースなどのモンテカルロレンダリングメソッドのほとんどの説明では、サンプルが独立して生成されることを前提としています。つまり、独立した均一に分布した数値のストリームを生成する標準の乱数ジェネレータが使用されます。

独立して選択されていないサンプルは、ノイズの点で有益であることがわかっています。たとえば、層化サンプリングと低差異シーケンスは、ほぼ常にレンダリング時間を改善する相関サンプリングスキームの2つの例です。

ただし、サンプル相関の影響がそれほど明確でない場合が多くあります。たとえば、Metropolis Light Transportなどのマルコフ連鎖モンテカルロ法は、マルコフ連鎖を使用して相関サンプルのストリームを生成します。多光源法は、多数のカメラパスに少数の光源パスを再利用し、多数の相関シャドウ接続を作成します。フォトンマッピングでさえ、多くのピクセルで光路を再利用することで効率が向上し、サンプルの相関性も増加します（バイアスがかかっていますが）。

これらのレンダリング方法はすべて、特定のシーンでは有益ですが、他のシーンでは事態を悪化させるようです。異なるレンダリングアルゴリズムでシーンをレンダリングし、一方が他方より良く見えるかどうかを目で確認する以外に、これらの手法によって導入されるエラーの品質を定量化する方法は明確ではありません。

質問は次のとおりです。サンプル相関は、モンテカルロ推定量の分散と収束にどのように影響しますか？どのような種類のサンプル相関が他のサンプル相関よりも優れているかを何らかの方法で数学的に定量化できますか？サンプルの相関が有益であるか有害であるかに影響を与える可能性のある他の考慮事項はありますか（例：知覚エラー、アニメーションのちらつき）。

重要な違いが1つあります。

マルコフ連鎖モンテカルロ法（Metropolis Light Transportなど）の方法は、それらが多くの高度に相関しているという事実を完全に認めています。これは実際にはアルゴリズムのバックボーンです。

一方、双方向パストレース、多光源法、フォトンマッピングなどのアルゴリズムがあり、重要な役割は複数の重要度サンプリングとそのバランスヒューリスティックです。バランスヒューリスティックの最適性は、独立したサンプルに対してのみ証明されています。多くの最新のアルゴリズムには相関サンプルがあり、それらの一部では問題が発生しますが、一部では発生しません。

相関サンプルの問題は、双方向パストレースの確率的接続の論文で確認されています。相関関係を考慮してバランスヒューリスティックを変更した場合。論文の図17を見て結果を確認してください。

相関が「常に」悪いことを指摘したいと思います。あなたがそれよりも真新しいサンプルを作る余裕がある場合。しかし、ほとんどの場合、それを買う余裕はないので、相関関係による誤差が小さいことを望みます。

「常に」を説明するために編集します：MC統合のコンテキストでこれを意味します

推定量の分散で誤差を測定する場所

サンプルが独立している場合、共分散項はゼロです。相関のあるサンプルはこの項を常に非ゼロにし、最終推定量の分散を増加させます。

これは、一見、成層化によりエラーが低下するため、成層化サンプリングで遭遇するものとは幾分矛盾しています。ただし、層化サンプリングのコアには確率が含まれていないため、層化サンプリングが確率論的な観点から目的の結果に収束することを証明することはできません。

そして、層化サンプリングの扱いは、基本的にモンテカルロ法ではないということです。層化サンプリングは、低次元でのスムーズな関数の統合に最適な数値積分の標準的な求積法規則に基づいています。これが、低次元の問題である直接照明の処理に使用される理由ですが、その滑らかさは議論の余地があります。

そのため、層化サンプリングは、たとえばメニーライト法の相関とは異なる種類の相関です。

半球強度関数、つまりBRDFを掛けた入射光の半球関数は、立体角ごとに必要なサンプル数と相関しています。任意のメソッドのサンプル分布を取得し、その半球関数と比較します。それらが類似しているほど、その特定のケースでの方法は優れています。

この強度関数は通常不明であるため、これらの方法はすべてヒューリスティックを使用することに注意してください。ヒューリスティックの仮定が満たされている場合、分布はランダム分布よりも優れています（=目的の関数に近い）。そうでなければ、それはさらに悪いことです。

たとえば、重要度サンプリングではBRDFを使用してサンプルを配布します。これは単純ですが、強度関数の一部のみを使用します。拡散面を浅い角度で照らす非常に強力な光源は、サンプルがほとんど得られませんが、その影響は依然として大きい可能性があります。Metropolis Light Transportは、以前のサンプルから高強度の新しいサンプルを生成します。これは、少数の強力な光源には適していますが、全方向から均等に光が届く場合には役立ちません。