半球調和の畳み込み

球面調和関数（SH）は、少数の係数のみで低周波数の球面関数を表す方法です。それらは、いくつかの素晴らしい数学的な特性を持っています。たとえば、カーネル関数h（x）（円対称性をもつ）とのたたみ込みは、次のように計算できます。

$（h * f）^ m_l = \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} h ^ 0_l f ^ m_l$

ランク3 SHのコサインローブを使用した畳み込みの場合、これにより、係数を使用したバンドの単純なスケーリングが行われます。

$[\ pi、\ frac {2 \ pi} {3}、\ frac {\ pi} {4}]$

多くの場合、たとえば、不透明な表面上の特定の点に対する入射光では、球の半分がゼロ/未定義/未使用であるため、完全な球形の情報は必要ありません。このようにして、半球調和（HSH）が生まれました。

HSHでは、任意のカーネル（循環対称）を使用した畳み込みはどのように機能しますか？SHからの畳み込みを拡張できますか、またはこれについて詳しく説明する論文はありますか？

hemisphere

あなたは「円対称の任意のカーネル」を書いています：それは、実際には（半球）ゾーンハーモニクスパーツとの畳み込みのみが必要であることを意味しませんか？対称軸が異なる場合でも、ゾーンコンボリューションの前後に回転を追加することにより、対称軸を使用できます。回転を実行する方法は、論文に記載されています。ゾーン部分（m = 0）との統合は比較的簡単です。ただし、球面調和関数と同様に、任意の関数を分析的に解くことはできません。コサインローブのような単純なものは正常に動作するはずです（まだ試していません）。

— Wumpf、2015

@Wumpfその通りです、それは結局のところ、ほとんどのことです。SHの場合、「[カーネル関数] hからの対応するm = 0項によるfの各バンド」（スローンの愚かなSHトリックを引用）をスケーリングするだけです。質問ですが、HSHでも同じようにできますか？

— David Kuri

この回答では、いくつかの重要な側面について簡単に概要を説明します。HSHの定義はかなり複雑で、事前に評価された一部の関数の概要を見つけることができなかったため、現時点では時間がかかりすぎるため、例を提供しませんでした。

問題の説明とブルートフォース

基底関数の任意のセットを使用して畳み込みを決定し、係数を計算するには、通常、領域全体の積分を計算する必要があります（= SHの球、HSHの半球）。HSH基底関数Hの係数cを介して角度シータ（ "上/下"）およびファイ（ "左/右"）で定義される半球関数fを表すために必要なすべてのことは、次のとおりです。

$\ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ {\ frac {2} {\ pi}} f（\ theta、\ phi）\ cdot H_l ^ m（\ theta、\ phi）\ cdot sin（\ theta）\ 、\、\ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi$

罪（シータ）は、我々は（ヘミ）球の表面上で統合するためがあります。概念的には、phiの変更に起因する領域のサイズは、現在のシータでは大きくまたは小さくなります。詳細はこちら

精度や計算時間をあまり気にしない場合は、サンプリングするだけでこれを解決できます。半球で等分布（！）の方向を生成し、fとHの積を計算して結果を平均します（本当に等分布の場合）あなたが罪を必要としない点（シータ））。

分析ソリューションを開始する

もちろん、機能の分析的な解決策が欲しいですが、これは物事が非常に困難になる可能性がある場所です。最初のステップとして、デカルト方向で与えられる関数を球面座標に変換する必要があるかもしれません。この部分はまだ簡単です。次のようにx、y、zをすべて置き換えてください。

$（x、y、z）\ rightarrow（\ sin \ theta \ cos \ phi、\ sin \ theta \ sin \ phi、\ cos \ theta）$

これにより、z軸がHSHで表される半球の上方（シータ= 0）であるシステムが得られることに注意してください。その後、すでにコンピュータ代数システムにすべてを挿入して方程式を解くことが可能かもしれません。すべてのm＆lを解くのではなく、一度に1つの係数を試してください。一度にすべての係数を記述するコンパクトな式はありそうにないためです。HSHの定義は比較的複雑であるため、これらの関数を評価するのは非常に退屈です。この論文ゼロと1次HSH基底関数は直交座標に記載されています。

回転と帯状高調波に関する注記

このz軸を中心に回転対称である関数は、ゾーンmの係数のみに影響するため、解析的導出を成功させるための非常に良い候補です。これは、ゾーンの球面調和関数表現を任意の方向に回転できる簡単な式が存在する、より一般的な球面調和関数の場合に特に役立ちます。その結果、データ損失のない球面調和関数表現になります（ここを参照）。）。これは、放射対称の「関数がzを指す」と仮定してZSH係数を導出し、それを任意の方向に回転できることを意味します。これは、たとえばさまざまなコサインローブのバリエーションで完全に機能し、質問で述べた要素も提供します。

悪いニュースです。HSHの場合、関数はz以外の軸を中心に回転すると損失が発生します。これは、回転後に関数が下部の未定義の半球に「触れる」ためです。したがって、便利な「Hemi ZonalからHSH」回転式もありません。代わりに、さまざまな欠点を伴う複数の方法があります。詳細については、論文とプレゼンテーションを参照してください。

ちなみに、これはすべてH-Basisでも簡単です。H-Basisも半球形です（ただし、元々は限られた数の周波数帯域に対してのみ定義されていました）。

— Wumpf
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