私の直感では、球体が2D空間に投影されると、結果は常に数学的に楕円（または縮退した場合は円）になります。

過去に私が積極的に自分のグラフィックプログラミングを行っていたときに、他の人々と一緒にこれを持ち出し、彼らは私が間違っていることを固く主張していました。私が正しく思い出せば、結果は漠然と「卵形」である可能性があると信じていました。

誰が正しかった？

すでに1つの回答が送信されているため、質問を完全に変更するつもりはありませんが、長年にわたってこの分野に精通していないため、重要な詳細を省略してしまいました。

私は、投影が線形アプリケーションである透視投影について具体的に質問するつもりでした。

もちろん、他の投影法は多くの用途で興味深いので、この時点でそれらを削除したくありません。しかし、答えが最も顕著なセクションとして透視図法を持つことができれば素晴らしいと思います。

透視投影と球体の外部の視点を仮定すると、視点と地平線WRTを形成する球体上の円によって形成される「境界」は円錐になります。

（平面への）透視投影を行うことは、この円錐を平面と交差させることと等価であり、したがって円錐断面を生成します。参考までに、4つの非縮退ケースは、Wikipediaのこの画像に示されています

したがって、楕円/円は可能ですが、それだけではありません-無制限の放物線または双曲線（および平面が目を通過する場合、退化した場合でも可能です）。

これは、@ SimonFの回答に対する長いコメントのようなもので、私はある程度自己完結させようとしています。

双曲線、放物線、楕円形のすべてのコーンのカットが可能です。これは、非常に広角のカメラで3Dエンジンで画像を描画することで簡単にテストできます。被写体が焦点の中央にないように、カメラを30度の角度で回転させます。次に、カメラを徐々に球体に近づけます。

画像1：わずかに横向きの球体に非常に近い飛行。表面のフォームを内側に突然穴を開ける方法に注目してください。

そのため、球体が非常に近く、広い画像で画像から出るときに要約すると、放物線または双曲線になります。しかし、そのために図形はフレームから出るだけです。

投影システムは、3D形状を平面（2D）形状に変換するために使用されます。

投影システムのタイプに応じて、長方形、パイ、楕円、円などのさまざまな結果と形状を球から生成できます。

投影システムは、生成する結果の特性によって分類できます。

続けるために、私たちがこれまでに見た、地球圏および地球規模の地図である、非常に触れやすく一般的な例を使用したいと思います。

あなたの球体が地球だとします！

地球が球体であり、地球の球形から作成される平面世界地図であると想像してください。ほとんどの世界地図では、極に近い国が実際よりもはるかに大きくなっています。たとえば、アイスランドはアフリカ大陸の1/14ですが、地図では両方が平等であることが示されています。これは、1つの次元を省略すると、形状の1つの特性が失われるためです。

さまざまな投影システムとその結果

これは、距離、角度、または面積を節約しない平面投影です。赤い丸は、この投影の結果である誇張の量を示しています。

平等、これでアイスランドとアフリカを見て、上記と比較してください。

投影システムは、保存するものによって分類できます。

1. 等しい面積。
2. 歪みなしで形状を維持する等角（コンフォーマル）。
3. 等しい距離。
4. ......

等角投影では形状は保持されますが、面積は保持されません（最初の写真）。これは多くのアプリケーションで使用される最も有名な投影システムです。あなたの球はここでは長方形です！

したがって、球体が常に楕円に投影されるとは限りません。上記のように、球体は長方形（最初の形状）に投影するか、異なる特性（等しい角度、距離、形状、面積-次の図を参照）の楕円にするか、球体を円錐に投影することもできます円を開くように円錐を開きます。

上記の各投影システムは、インターネット上で見られる反復アルゴリズムまたは直接アルゴリズムで適用できます。あなたが尋ねなかったので、私は式と変換については話しませんでした。この回答が役立つことを願っていますが。

透視投影では、球体から楕円だけが生成されるとはい

円錐を水平面で切断すると、円が作成されます。

斜めの平面で切断すると、切断角度に応じて楕円または双曲線になるベベルが作成され、この角度が垂直に傾くと放物線が作成されます（次の図）。

たぶんこれは明らかですが、彼らの方程式を見てみましょう。

簡単にするために、すべてのジオメトリは原点中心であると想定しました。

方程式：

$x^2+y^2=r^2$

$x^2/a^2+y^2/b^2=1$

$x^2/a^2-y^2/b^2=1$

$y^2=4ax$

形態学：

楕円には明らかに2つの焦点があります。特別な種類の省略記号としての円にも2つの焦点がありますが、それらは一致しています。ただし、双曲線は同じ楕円のy軸ミラーであり、2つの焦点があります。放物線には1つの焦点がありますが、実際には2つ目は無限遠にあるため2つあります。切断面が90度（方位角）に傾くと、2つ目の焦点は無限大になります。

結論

すべてが楕円であるように見えますが、特別な場合を説明するために異なる名前を付けることもできますが、ゲームに実装する場合は、楕円方程式を仮定する必要があり、それで十分です。あなたとあなたの友人のどちらが正しいか、私はわかりません。

SimonFの推論は基本的に私を納得させましたが、私は健全性チェックを行うことにしました。私はUE4レベルをロードしましたが、たまたまいくつかの球体があります：

カメラのFOVを最大160度に設定して、多くの遠近感の歪みを与え、球体が画像の角に近づくように配置しました。

次に、これをInkscapeに取り込み、楕円ツールを使用して描画しました。

驚き！それは完璧なフィット感です！

球体を1回スライスしても、放物線や双曲線は形成されません。円である特別な場合を除いて、楕円もありません。結果は常に円です。傾斜した平面に球体を投影すると、楕円が得られます