正の整数入力Nが与えられると、2つの非負の数aとbを出力します。ここでa <bであり、数Nが繰り返し関係シーケンスの一部となる可能な最小の平均値を持ちます。

f(0) = a
f(1) = b
f(n) = f(n-2)+f(n-1)

場合には、平均以上の解決策があるとbが、その後、最小限であるあなたが出力すべき最低で1 B。

Nは、言語/システムの整数の代表的な範囲内にあると仮定できます。

テストケース

N = 1
a = 0, b = 1

N = 15
a = 0, b = 3

N = 21
a = 0, b = 1

N = 27
a = 0, b = 9   <- Tricky test case. [3, 7] is not optimal and [4, 3] is not valid

N = 100
a = 4, b = 10

N = 101
a = 1, b = 12

N = 102
a = 0, b = 3

N = 1000
a = 2, b = 10

ハスク、19 18 16 14 13 15バイト

1バイトを保存してくれたZgarbに感謝します。

ḟö£⁰ƒẊ++ÖΣṖ2Θḣ⁰

オンラインでお試しください！

説明：

免責事項：私は本当にȯƒẊ++コードのセクションを理解していません。

編集：Haskellのに変換するように見えるfix.(mapad2(+).).(++)、mapad2ISは、リスト内のすべての隣接する対に関数を適用します。（ただし、Huskを知っていても、このプログラムのコンテキストでは、何か他のものを意味する可能性があります）

            Θḣ⁰    Create the list [0..input]
          Ṗ2       Generate all possible sublists of length 2
        ÖΣ         Sort them on their sums
ḟ                  Find the first element that satisfies the following predicate.
    ƒẊ++             Given [a,b], magically generate the infinite Fibonacci-like
                     sequence from [a,b] without [a,b] at the start.
 ö£⁰                 Is the input in that list (given that it is in sorted order)?

JavaScript（Node.js）、92 90 89 91 83 82バイト

-3バイト -1バイトThePirateBayのおかげ

-8 -9ニールのおかげでバイト。

f=(n,a=1,b=0,c=(a,b)=>b<n?c(a+b,a):b>n)=>c(a,b)?b+2<a?f(n,a-1,b+1):f(n,b-~a):[b,a]

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注：このソリューションは、複数の最小ソリューションが存在しないという事実に依存しています。

複数のソリューションが存在しないことの証明：

ましょうFIB(a,b,k)フィボナッチのようなシーケンスで始まるa,b：

FIB(a,b,0) = a
FIB(a,b,1) = b
FIB(a,b,k) = FIB(a,b,k-1) + FIB(a,b,k-2)

補題1

フィボナッチに似たシーケンスの違いは、それ自体がフィボナッチに似ていFIB(a1,b1,k) - FIB(a0,b0,k) = FIB(a1-a0,b1-b0,k)ます。証拠は読者に任されています。

補題2

についてn >= 5は、以下a,bを満たす解が存在しますa+b < n。

場合nでもあり、FIB(0,n/2,3) = n

nが奇数の場合、FIB(1,(n-1)/2,3) = n

証明

n < 5徹底的に確認できるケース。

我々は2つの最小限のソリューションを持っていると仮定しn >= 5、a0,b0とa1,b1してa0 + b0 = a1 + b1とa0 != a1。

そして、k0,k1そのようなものが存在しFIB(a0,b0,k0) = FIB(a1,b1,k1) = nます。

• 事例1： k0 = k1

  WLOGは想定しているb0 < b1（したがってa0 > a1）

  ましょうDIFF(k)とで始まるフィボナッチのようなシーケンスの違いにa1,b1なりa0,b0ます：

  DIFF(k) = FIB(a1,b1,k) - FIB(a0,b0,k) = FIB(a1-a0,b1-b0,k) （補題1）

  DIFF(0) = a1 - a0 < 0

  DIFF(1) = b1 - b0 > 0

  DIFF(2) = (a1+b1) - (a0+b0) = 0

  DIFF(3) = DIFF(1) + DIFF(2) = DIFF(1) > 0

  DIFF(4) = DIFF(2) + DIFF(3) = DIFF(3) > 0

  Fibonnaciのようなシーケンスに2つの正の用語が含まれると、後続のすべての用語は正になります。

  したがって、唯一の時間DIFF(k) = 0はwhen k = 2であるため、の唯一の選択肢はk0 = k1です2。

  だから n = FIB(a0,b0,2) = a0 + b0 = a1 + b1

  これらのソリューションの最小限度は、補題2と矛盾しています。

• ケース2 k0 != k1：：

  WLOGは仮定しk0 < k1ます。

  我々は持っています FIB(a1,b1,k1) = n

  させて a2 = FIB(a1,b1,k1-k0)

  させて b2 = FIB(a1,b1,k1-k0+1)

  次にFIB(a2,b2,k0) = FIB(a1,b1,k1) = FIB(a0,b0,k0)（読者のための運動）

  FIB(a1,b1,k)は負ではないのでk >= 0、減少していません。

  これは、私たちを与えるa2 >= b1 > a0とb2 >= a1+b1 = a0+b0。

  それではDIFF(k) = FIB(a2,b2,k) - FIB(a0,b0,k) = FIB(a2-a0,b2-b0,k)（補題1）

  DIFF(0) = a2 - a0 > 0

  DIFF(1) = b2 - b0 >= (a0 + b0) - b0 = a0 >= 0

  DIFF(2) = DIFF(0) + DIFF(1) >= DIFF(0) > 0

  DIFF(3) = DIFF(1) + DIFF(2) >= DIFF(2) > 0

  繰り返しますが、DIFF2つの正の用語があるため、後続の用語はすべて正です。

  したがって、それが可能な唯一の時間DIFF(k) = 0はk = 1ですので、の唯一の選択肢はk0です1。

  FIB(a0,b0,1) = n

  b0 = n

  これは補題2と矛盾しています。

Haskell、76 72 74バイト

編集：

• -4バイト：@ H.PWiz /はdiv、これには小数型を使用する必要があります。
• +2バイト：Enumを追加して範囲のバグを修正しました-1。

f値DoubleまたはRationalタイプを取り、同じタプルを返します。 理論上は無制限ですがDouble、丸めエラーを引き起こすほど大きくないすべての値で十分ですRational。

f n|let a?b=b==n||b<n&&b?(a+b)=[(a,s-a)|s<-[1..],a<-[0..s/2-1],a?(s-a)]!!0

オンラインでお試しください！（H.PWizの入力/出力に対するヘッダー調整によりRational整数形式の）

使い方

• ?は、のスコープ内でローカルにネストされた演算子ですf。until でa?b始まるフィボナッチのようなシーケンスを再帰的にステップ実行し、正確にヒットした場合にのみ返します。a,bb>=nTruen
• リスト内包表記：
  • sと1の合計を表す上からすべての数値を反復処理します。ab
  • aから0までの数字を反復処理しs/2-1ます。（s奇数の場合、範囲の終わりは切り上げられます。）
  • a?(s-a)a,s-ahitsで始まるシーケンスがテストされnます。その場合、リストの内包にはtupleが含まれ(a,s-a)ます。（つまり、b=s-a名前を付けるには短すぎましたが。）
  • !!0 内包表記の最初の要素（ヒット）を選択します。

APL（Dyalog）、75 71 64 59 53 48 44 43バイト

@Adámのおかげで2バイト節約

@ngnのおかげで12バイト節約

⊃o/⍨k∊¨+\∘⌽⍣{k≤⊃⍺}¨o←a/⍨</¨a←,⍉|-\¨⍳2⍴1+k←⎕

オンラインでお試しください！

を使用し⎕IO←0ます。

どうやって？ これは本当のことです。

k←⎕ -入力を割り当てる k

⍳2⍴1+k←⎕-範囲のデカルト積0にk自体と

|-\¨ -左から各右のペア要素を減算し、絶対値を取得します

a←,⍉ -転置、平坦化、および割り当て a

o←a/⍨</¨a -左の要素が右よりも小さいペアのみを保持し、に割り当てます o

o 現在、すべてのペアのリストが含まれています a < bれ、算術平均順に並べられています

+\∘⌽⍣{k≤⊃⍺}¨o-の各ペアに対してo、フィボナッチ（ペアとカムサムを逆に）を適用しますkまたはそれ以上の用語に達しました

k∊¨ -その後、決定する kこの最後の用語である（つまり、シーケンスに含まれていることを意味します）

o/⍨ -ペアを保持する o、前のチェックが適用される場所でます

⊃ -最初の結果を返します。

パイソン2、127 109 107バイト

-2 OVSのおかげでバイト（変化andします*）

g=lambda x,a,b:a<=b<x and g(x,b,a+b)or b==x
f=lambda n,s=1,a=0:g(n,a,s-a)*(a,s-a)or f(n,s+(a==s),a%s+(a<s))

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のボーナスポイントはn,a,s-a？

説明：

• 最初の行は、再帰ラムダを宣言します。gこれはa, b、フィボナッチ数列がに達すると展開されるかどうかを検証しxます。またa <= b、質問の基準の1つもチェックします。（これにより、の場合が許可されますa == bが、そのような場合、0, aすでに発見されて返送されているはずです）。
  • 連鎖不等式a<=b<xはa <= b、検証、およびb < xます。
  • 場合はb < x利回りTrue、機能はフィボナッチ数列の次の二つの数字で再び自身を呼び出します。b, a+b。これは、関数が...まで新しい用語を作り続けることを意味します
  • 場合はb < x利回りFalse、我々は我々がいるかどうかを確認する必要がある点に達していますb==x。その場合、これはを返しTrue、最初のペアa, bが最終的にに到達することを意味しますx。そうでない場合、の場合b > x、ペアは無効です。
• 2行目はf、別の再帰ラムダを宣言しますn。これは、指定されたvalueの解を見つけます。yields a, bになるまで、新しい初期ペアを再帰的に試行しg(n, a, b)ますTrue。その後、このソリューションが返されます。
  • この関数は、2つの変数s（最初は1）とa（最初は0）を使用して、初期フィボナッチペアを再帰的にカウントします。反復ごとに、a増分a, s-aされ、最初のペアとして使用されます。ただし、をa押すsと0にリセットされ、s増分されます。これは、ペアが次のパターンでカウントアップされることを意味します。

    s = 1（0、1）（1、0）
    s = 2（0、2）（1、1）（2、0）
    s = 3（0、3）（1、2）、（2、1）、（3、0）
    

    明らかに、これにはいくつかの無効なペアが含まれていますが、これらは渡されるとすぐに削除されますg（最初の箇条書きを参照）。
  • ときの値aとsなるように発見されg(n, a, s-a) == True、この値が返されます。可能なソリューションは「サイズ」の順にカウントアップされるため（平均値、最小値の順）、最初に見つかったソリューションは、チャレンジリクエストとして常に最小になります。

R、183バイト 160バイト

n=scan();e=expand.grid(n:0,n:0);e=e[e[,2]>e[,1],];r=e[mapply(h<-function(n,a,b,r=a+b)switch(sign(n-r)+2,F,T,h(n,b,r)),n,e[,1],e[,2]),];r[which.min(rowSums(r)),]

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23バイトのゴルフをしてくれたGiuseppeに感謝

コードの説明

n=scan()                        #STDIO input
e=expand.grid(n:0,n:0)          #full outer join of integer vector n to 0
e=e[e[,2]>e[,1],]               #filter so b > a
r=e[mapply(
  h<-function(n,a,b,r=a+b)switch(sign(n-r)+2,F,T,h(n,b,r)),
                                #create a named recursive function mid-call 
                                #(requires using <- vs = to denote local variable creation 
                                #rather than argument assignment
  n,e[,1],e[,2]),]              #map n, a and b to h() which returns a logical
                                #which is used to filter the possibilities
r[which.min(rowSums(r)),]       #calculate sum for each possibility, 
                                #get index of the minimum and return
                                #because each possibility has 2 values, the mean and 
                                #sum will sort identically.

Mathematica、117バイト

If[#==1,{0,1},#&@@SortBy[(S=Select)[S[Range[0,s=#]~Tuples~2,Less@@#&],!FreeQ[LinearRecurrence[{1,1},#,s],s]&],Mean]]&

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ゼリー、19バイト

ṫ-Sṭµ¡³e
0rŒcÇÐfSÐṂ

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-1バイトのおかげ証拠によってcardboard_box。反証がある場合UṂṚは、2行目の最後に合計22バイトを追加できます。

GolfScript - 88 77バイト

~:N[,{1+:a,{[.;a]}/}/][{[.~{.N<}{.@+}while\;N=]}/]{)1=\;},{(\;~+}$(\;);~~' '\

cardboard_boxのおかげで、複数のソリューションをチェックしませんでした！

説明

~:N                           # Reads input
[,{1+:a,{[.;a]}/}/]           # Creates an array of pairs [a b]
[{[.~{.N<}{.@+}while\;N=]}/]  # Compute solutions
{)1=\;},         # Pairs that are not solutions are discarded
{(\;~+}$         # Sorts by mean
(\;);~~' '\      # Formats output

バッチ、160 158バイト

@set/aa=b=0
:g
@if %a% geq %b% set/ab-=~a,a=0
@set/ac=a,d=b
:l
@if %c% lss %1 set/ad+=c,c=d-c&goto l
@if %c% gtr %1 set/aa+=1,b-=1&goto g
@echo %a% %b%